Question

3．在日常生活中，我們經常看到物體與物體間發生反復的碰撞．如圖所示，一塊表面水平的木板被放在光滑的水平地面上，它的右端與墻之間的距離L=0.08m．另有一小物塊速度v₀=2m/s從木板的左端滑上．已知木板和小物塊的質量均為1kg，小物塊與木板之間的動摩擦因數 μ=0.1，木板足夠長使得在以后的運動過程中小物塊始終不與墻接觸，木板與墻碰后木板以原速率反彈，碰撞時間極短可忽略，取重力加速度g=10m/s²．求：
（1）木板第一次與墻碰撞時的速度大小；
（2）從小物塊滑上木板到二者達到共同速度時，木板與墻碰撞的總次數和所用的時間；
（3）達到共同速度時木板右端與墻之間的距離．

Answer 1

分析 本題中開始小木塊受到向后的摩擦力，做勻減速運動，長木板受到向前的摩擦力做勻加速運動；當長木板反彈后，小木塊繼續勻減速前進，長木板勻減速向左運動，一直回到原來位置才靜止；之后長木板再次向右加速運動，小木塊還是勻減速運動；長木板運動具有重復性，由于木板長度可保證物塊在運動過程中不與墻接觸，故直到兩者速度相同，一起與墻壁碰撞后反彈；之后長木板向左減速，小木塊向右減速，兩者速度一起減為零．

解答 解：（1）物塊滑上木板后，在摩擦力作用下，木板從靜止開始做勻加速運動．設木板加速度大小為a，經歷時間T后與墻第一次碰撞，碰撞時的速度大小為v₁，則：
μmg=ma，
L=$\frac{1}{2}a{T^2}$，
v₁=aT，
聯立解得：T=0.4s，v₁=0.4m/s
（2）在物塊與木板兩者達到共同速度前，在每兩次碰撞之間，木板受到物塊對它的摩擦力作用而做加速度恒定的勻減直線運動，因而木板與墻相碰后將返回至初位置且速度減為零，所用時間也為T．物塊與木板的質量相等，加速度大小相等．設在物塊與木板兩者達到共同速度v前木板共經歷n次碰撞，則有：
v=v₀-（2nT+△t）a=a△t，
式中△t是碰撞n次后木板從初始位置至達到共同速度時所需要的時間，得：2v=v₀-2nTa，
由于木板的速率只能位于0到v₁之間，故有：0≤v₀-2nTa≤2v₁
求解上式得：1.5≤n≤2.5，
由于n是整數，故n=2，v=0.2m/s，△t=0.2s，
從開始到物塊與木板達到共同速度所用的時間為：t=4T+△t=1.8s，
即從物塊滑上木板到兩者達到共同速度時，木板與墻共發生兩次碰撞，所用的時間為1.8s．
（3）物塊與木板達到共同速度時，木板與墻之間的距離為：$s=L-\frac{1}{2}a{（△t）^2}$，
代入數據解得：s=0.06m，即達到共同速度時木板右端與墻之間的距離為0.06m．
答：（1）木板第一次與墻碰撞時的速度為0.4m/s；
（2）從小物塊滑上木板到二者達到共同速度時，木板與墻碰撞的總次數為2次，所用的時間為1.8s；
（3）達到共同速度時木板右端與墻之間的距離為0.06m．

點評 本題關鍵要分清出長木板的運動為往復運動，具有重復性，而小木塊的運動是勻減速直線運動，然后根據運動學公式列式求解．