Question

20．小楊同學為了測量地球的質量和半徑，坐船到赤道上的海面，測出當地的重力加速為g、赤道上空的地球同步通訊衛星的高度為h．已知地球自轉的周期為T，萬有引力常量為G．
（1）不考慮地球自轉對物體重力加速度的影響，認為物體所受重力等于地球對物體的引力，用R₁表示地球的半徑，求R₁與題目給出的已知量g、h、T、G的代數關系式（不必解出R₁）；
（2）為更準確求得地球的半徑，就要考慮地球自轉對物體重力加速度的影響，用R₂表示地球的半徑，求R₂與題目給出的已知量g、h、T、G的代數關系式（不必解出R₂）．

Answer 1

分析 （1）根據已知量，地球的同步衛星的萬有引力提供向心力，可以求出地球的質量，然后由地球表面的物體受到的重力等于萬有引力可求出；
（2）考慮地球的自轉，寫出相應的表達式，聯立即可求出對應的表達式．

解答 解：（1）地球的同步衛星的萬有引力提供向心力：$\frac{GMm}{{（{R}_{1}+h）}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}（{R}_{1}+h）$  ①
所以：GM=$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}{（{R}_{1}+h）}^{3}$   ②
地球表面的物體受到的重力等于萬有引力，即$\frac{GMm}{{R}_{1}^{2}}=mg$，③
則聯立①②③可得：$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}{（{R}_{1}+h）}^{3}$=$g{R}_{1}^{2}$   ④
（2）要考慮地球自轉對物體重力加速度的影響，則：$\frac{GMm}{{R}_{2}^{2}}-\frac{m4{π}^{2}{R}_{2}}{{T}^{2}}=mg$  ⑤
所以得：$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{{T}^{2}}{+gR}_{2}^{2}=\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}（{R}_{1}+h）^{3}$ 
答：（1）R₁與題目給出的已知量g、h、T、G的代數關系式為$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}{（{R}_{1}+h）}^{3}$=$g{R}_{1}^{2}$  
（2）R₂表示地球的半徑，求R₂與題目給出的已知量g、h、T、G的代數關系式為$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{{T}^{2}}{+gR}_{2}^{2}=\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}（{R}_{1}+h）^{3}$

點評 解答此題要清楚地球表面的物體受到的重力等于萬有引力，地球的同步衛星的萬有引力提供向心力，地球近地衛星所受的萬有引力提供向心力．