Question

天文觀測中發現宇宙中存在著“雙星”，所謂雙星，是兩顆質量相近，分別為m₁和m₂的恒星，它們的距離為r，而r遠遠小于它們跟其它天體之間的距離，這樣的雙星將繞著它們的連線上的某點O作勻速圓周運動．求：
（1）這兩顆星到O點的距離r₁、r₂各是多大
（2）雙星的周期．

Answer 1

分析：雙星以兩者連線上某點為圓心，各自做勻速圓周運動，向心力由對方的萬有引力提供，而且雙星的條件是角速度相同，根據牛頓第二定律隔離兩個天體分別研究，再求解雙星運行軌道半徑和周期．

解答：解：（1）如圖，
設雙星中質量為m₁的天體軌道半徑為r₁，質量為m₂的天體軌道半徑為r₂
據萬有引力定律和牛頓第二定律，得：G

m1m2

r2

=m1ω2r1----①
G

m1m2

r2

=m2ω2r2----②
r₁+r₂=r----③
由①②③聯立解得：r1=

m2

m1+m2

r
r2=

m1

m1+m2

r
（2）
再由：G

m1m2

r2

=m2(

2π

T

)2r2得
運行的周期T=2πr

r G(m1+m2)

答：（1）這兩顆星到O點的距離r₁、r₂分別為r1=

m2

m1+m2

r，r2=

m1

m1+m2

r．
（2）雙星的周期為2πr

r G(m1+m2)

．

點評：本題是雙星問題，與衛星繞地球運動模型不同，兩顆星都繞同一圓心做勻速圓周運動，關鍵抓住條件：周期相同．