Question

7．兩質點從t=0出發，運動方程分別為x₁=t²-2t-7，x₂=3t²-7t-1其中t和x單位分別取為秒和米，試比較兩者相距最近時各自速度v₁和v₂之間的大小關系是${v}_{1}^{\;}＜{v}_{2}^{\;}$．若兩質點運動方程改為x₁=t²+4t-5，x₂=3t²-5t-10再比較相距最近時v₁和v₂之間的大小關系是${v}_{1}^{\;}＜{v}_{2}^{\;}$．

Answer 1

分析 求出位移相等的時間，位移對時間的導數即速度，將時間代入，得到速度的值進行比較；

解答 解：當${x}_{1}^{\;}={x}_{2}^{\;}$時
${t}_{\;}^{2}-2t-7=3{t}_{\;}^{2}-7t-1$
$2{t}_{\;}^{2}-5t+6=0$
解得：${t}_{1}^{\;}=2s$，${t}_{2}^{\;}=\frac{3}{2}s$
當${t}_{1}^{\;}=2s$時，求導數
${v}_{1}^{\;}={x}_{1}^{′}=2t-2=（2×2-2）m/s=2m/s$
${v}_{2}^{\;}={x}_{2}^{′}=6t-7=（6×2-7）m/s=5m/s$
當${t}_{2}^{\;}=\frac{3}{2}s$時，
${v}_{1}^{′}=2t-2=2×\frac{3}{2}-2=1m/s$
${v}_{2}^{′}=6t-7=6×\frac{3}{2}-7=2m/s$
$\frac{3}{2}s$、2s時${v}_{1}^{\;}＜{v}_{2}^{\;}$
同理${x}_{1}^{\;}={x}_{2}^{\;}$
${t}_{\;}^{2}+4t-5=3{t}_{\;}^{2}-5t-10$
$2{t}_{\;}^{2}-9t-5=0$
${t}_{1}^{\;}=5s$或${t}_{2}^{\;}=-\frac{1}{2}s$（舍）
${v}_{1}^{\;}=2t+4=（2×5+4）m/s=14m/s$
${v}_{2}^{\;}=6t-5=（6×5-5）m/s=25m/s$
所以${v}_{1}^{\;}＜{v}_{2}^{\;}$
故答案為：${v}_{1}^{\;}＜{v}_{2}^{\;}$               ${v}_{1}^{\;}＜{v}_{2}^{\;}$

點評 解決本題關鍵要理解速度與位移的關系，知道位移對時間求導數可得到速度，要有運用數學知識解決物理問題的能力．