Question

2．如圖所示，以兩虛線為邊界，中間存在平行紙面且與邊界垂直的水平電場，寬度為d，兩側為相同的勻強磁場，方向垂直紙面向里．質量為m、帶電量+q、重力不計的帶電粒子，以初速度v₁垂直邊界射入磁場做勻速圓周運動，后進入電場做勻加速運動，然后第二次進入磁場中運動，此后離子在電場和磁場中交替運動，已知粒子第二次在磁場中運動的半徑是第一次的二倍，第三次是第一次的三倍，以此類推，求：
（1）粒子第二次進入磁場時的速度；
（2）粒子第一次經過電場的過程中電場力所做的功W₁；
（3）粒子第n次經過電場時電場強度的大小E_n．

Answer 1

分析 （1）根據牛頓第二定律求出粒子第n次進入磁場時的半徑R_n與速度的關系式，由題給條件研究粒子第2次進入磁場時的速度，即粒子第一次經過電場的過程的末速度，
（3）根據動能定理求解粒子第一次經過電場的過程中電場力所做的功W₁．
（2）根據第（1）問的結果可知粒子第n+1次進入磁場時和第n次進入磁場時的速度，即第n次進入電場時和穿出電場時的速度，根據動能定理求出粒子第n次經過電場時電場強度的大小E_n．

解答 解：（1）設粒子第n次進入磁場時的半徑為${R}_{n}^{\;}$，速度為${v}_{n}^{\;}$，由牛頓第二定律得：
$q{v}_{n}^{\;}B=m\frac{{v}_{n}^{2}}{{R}_{n}^{\;}}$①
由①式得：${v}_{n}^{\;}=\frac{qB{R}_{n}^{\;}}{m}$②
因為${R}_{2}^{\;}=2{R}_{1}^{\;}$，③
所以有${v}_{2}^{\;}=2{v}_{1}^{\;}$④
（2）對粒子第一次在磁場中運動的過程，
由動能定理得：${W}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}m（2{v}_{1}^{\;}）_{\;}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}=\frac{3}{2}m{v}_{1}^{2}$⑤
（3）粒子第n次進入電場的速度為${v}_{n}^{\;}$，穿出電場時速度為${v}_{n+1}^{\;}$，
由題意知：${v}_{n}^{\;}=n{v}_{1}^{\;}$，${v}_{n+1}^{\;}=（n+1）{v}_{1}^{\;}$⑥
由動能定理得：$q{E}_{n}^{\;}d=\frac{1}{2}m{v}_{n+1}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{n}^{2}$⑦
聯立解得：${E}_{n}^{\;}=\frac{（2n+1）m{v}_{1}^{2}}{2qd}$⑧
答：（1）粒子第二次進入磁場時的速度$2{v}_{1}^{\;}$；
（2）粒子第一次經過電場的過程中電場力所做的功${W}_{1}^{\;}$為$\frac{3}{2}m{v}_{1}^{2}$；
（3）粒子第n次經過電場時電場強度的大小${E}_{n}^{\;}$為$\frac{（2n+1）m{v}_{1}^{2}}{2qd}$

點評 本題關鍵是充分應用題給條件研究粒子第n次進入電場時的速度，穿出電場時速度．動能定理是功常用的方法．