Question

6．我國未來將在月球表面上建立月球基地，并在繞月軌道上建造空間站．如圖所示，關閉發動機的航天飛機A在月球引力作用下沿橢圓軌道向月球靠近，并將在橢圓軌道的近月點B處與空間站C對接，已知空間站繞月運行的圓軌道的半徑為r，周期為T，萬有引力常量為G，月球的半徑為R．下列說法正確的是（　　）

• A． 要使對接成功，飛機在接近B點時必須加速
• B． 航天飛機在圖示位置正在減速向B運動
• C． 月球的質量為M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$
• D． 月球的第一宇宙速度為v=$\frac{2πr}{T}$

Answer 1

分析 要使航天飛機在橢圓軌道的近月點B處與空間站C對接，必須在接近B點時減速．根據開普勒定律可知，航天飛機向近月點運動時速度越來越大．月球對航天飛機的萬有引力提供其向心力，由牛頓第二定律求出月球的質量M．月球的第一宇宙速度大于$v=\frac{2πr}{T}$．

解答 解：A、要使航天飛機在橢圓軌道的近月點B處與空間站C對接，必須在接近B點時減速．否則航天飛機將繼續做橢圓運動．故A錯誤；
B、根據開普勒定律可知，航天飛機向近月點B運動時速度越來越大．故B錯誤；
C、設空間站的質量為m，由$G\frac{mM}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得，月球的質量M=$\frac{4{π}^{3}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$．故C正確；
D、空間站繞月圓軌道的半徑為r，周期為T，其運行速度為$v=\frac{2πr}{T}$，其速度小于月球的第一宇宙速度，所以月球的第一宇宙速度大于$v=\frac{2πr}{T}$．故D錯誤．
故選：C

點評 本題是開普勒定律與牛頓第二定律的綜合應用，對于空間站的運動，關鍵抓住由月球的萬有引力提供向心力，要注意知道空間站的半徑與周期，求出的不是空間站的質量，而是月球的質量．