Question

如圖所示，兩繩系一個質量為m=0.1 kg的小球，上面繩長l=2 m，兩繩都拉直時與軸夾角分別為30°與45°，問球的角速度在什么范圍內，兩繩始終拉緊？當角速度為3 rad/s時，上、下兩繩拉力分別多大？

Answer 1

解析：當ω由0逐漸增大時，半徑R增大，F₁增大，F₂=0；當ω增加為ω₁時半徑R=l·sin30°=，BC恰好拉直，F₂仍為零，只有ω＞ω₁時才會有F₁、F₂都大于0，隨ω繼續增大（半徑仍為R=不變），F₂增大，F₁減小.當ω增為ω₂時，AC仍拉直，但F₁已為零，故只要ω₁＜ω₂，F₁＞0，F₂＞0.

    解：兩繩拉緊時，小球受力如圖所示，當ω由0逐漸增大時，ω有臨界值.

（1）設BC恰好拉直時（F₂=0），角速度為ω₁，則有

F₁cos30°=mg

F₁sin30°=mω₁²lsin30°

    代入數據解得ω₁=2.40 rad/s.

（2）當ω大到一定程度時，AC仍然拉直，但F₁已為零，設此時的角速度為ω₂，則有

F₂cos45°=mg

F₂sin45°=mω₂²lsin30°

    代入數據解得ω₂=3.16 rad/s.

    所以要兩繩始終拉緊，ω必須滿足2.40 rad/s≤ω≤3.16 rad/s.

（3）當ω=3 rad/s時，F₁、F₂同時存在，所以

F₁sin30°+F₂sin45°=mω²Lsin30°        ①

F₁cos30°+F₂cos45°=mg               ②

    將數值代入式①②得，F₁=0.27 N，F₂=1.09 N.

答案：（1）2.40 rad/s≤ω≤3.16 rad/s  （2）F₁=0.27 N，F₂=1.09 N