Question

如圖所示，長為R的輕繩，上端固定在O點(diǎn)，下端連一小球．小球接近地面，處于靜止?fàn)顟B(tài)．現(xiàn)給小球一沿水平方向的初速度v₀，小球開始在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動．設(shè)小球到達(dá)最高點(diǎn)時繩突然斷開．已知小球最后落在離小球最初位置2R的地面上．求：
（1）小球在最高點(diǎn)的速度v；
（2）小球的初速度v₀；
（3）小球在最低點(diǎn)時球?qū)�繩的拉力；
（4）如果細(xì)繩轉(zhuǎn)過60°角時突然斷開，則小球上升到最高點(diǎn)時的速度多大？（小球的質(zhì)量為m，重力加速度為g）．

Answer 1

分析：（1）小球離開最高點(diǎn)后做平拋運(yùn)動，根據(jù)平拋運(yùn)動的位移公式列式求解；
（2）小球從最低點(diǎn)到最高點(diǎn)過程，只有重力做功，根據(jù)機(jī)械能守恒定律列式求解；
（3）小球在最低點(diǎn)，受拉力和重力，合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律和向心力公式列式求解；
（4）先對從最低點(diǎn)到轉(zhuǎn)動60°過程運(yùn)用動能定理列式求出繩子轉(zhuǎn)動60°時的速度，最高點(diǎn)速度等于斜拋初速度的水平分量．

解答：解：（1）在水平方向有
2R=vt
在豎直方向有
2R=

1

2

gt²
解得v=

gR

即小球在最高點(diǎn)的速度v為

gR

．
（2）根據(jù)機(jī)械能守恒定律有

1

2

mv₀²-

1

2

mv²=mg2R
解得v₀=

5gR

即小球的初速度v_0為

5gR

．
（3）對小球分析有F-mg=m

v 2 0

R

解得F=6mg
由牛頓第三定律可知：
小球?qū)�繩子的拉力為6mg，方向向下．
（4）設(shè)繩斷時的速度為v₁，
有mgR（1-cos60°）=

1

2

mv₀²-

1

2

mv₁²
設(shè)小球在最高點(diǎn)時的速度為v₂，
有v₂=v₁cos60°
v₂=

gR

即小球上升到最高點(diǎn)時的速度為

gR

．

點(diǎn)評：本題關(guān)鍵是對小球圓周運(yùn)動過程多次運(yùn)用機(jī)械能守恒定律列式分析，同時平拋運(yùn)動可以沿水平和豎直方向正交分解成兩個直線運(yùn)動研究．