Question

如圖所示，長為R的輕繩，上端固定在O點，下端連一質量為m的小球．小球接近地面，處于靜止狀態．現給小球一沿水平方向的初速度v₀（未知），小球開始在豎直平面內做圓周運動，小球到達最高點時繩突然斷開，小球最后落在離小球最初位置2R遠的地面上．設重力加速度為g，空氣阻力不計，求：
（1）小球在最高點的速率v；
（2）小球在最低點運動時球對繩的拉力；
（3）如果細繩轉過60°角時突然斷開，則以后小球上升到最高點時的速度多大？

Answer 1

分析：（1）小球離開最高點后做平拋運動，根據平拋運動的位移公式列式求解；
（2）小球在最低點，受拉力和重力，合力提供向心力，根據牛頓第二定律和向心力公式列式求解；
（3）先對從最低點到轉動60°過程運用動能定理列式求出繩子轉動60°時的速度，最高點速度等于斜拋初速度的水平分量．

解答：解：（1）小球做平拋運動，水平方向：2R=vt    
豎直方向：2R=

1

2

gt²
解得：球在最高點的速率v=

gR

 
（2）對球由動能定理：-mg（2R）=

1

2

mv²-

1

2

mv₀²
解得v₀=

5gR

最低點對球：F-mg=m

v02

R

解得F=6mg
由牛頓第三定律可知：小球對繩子的拉力為6mg，方向向下
（3）設繩斷時的速度為v₁，由動能定理：-mgR（1-cos60°）=

1

2

mv₁²-

1

2

mv₀²
設小球在最高點時的速度為v₂，有v₂=v₁cos60°
v₂=

gR

答：（1）小球在最高點的速率為

gR

；
（2）小球在最低點運動時球對繩的拉力為6mg，方向向下；
（3）小球上升到最高點時的速度為

gR

．

點評：本題關鍵是對小球圓周運動過程多次運用機械能守恒定律列式分析，同時平拋運動可以沿水平和豎直方向正交分解成兩個直線運動研究．