Question

2．如圖所示，豎直固定放置的斜面AB的下端與光滑的圓弧軌道BCD相切于B點，C點為圓弧的最低點，圓弧的半徑為R，圓心O與A、D在同一水平面上，∠COB=θ，現有一質量為m的小物體從斜面上的A點無初速滑下，已知小物體與斜面間的動摩擦因數為μ，重力加速度為g，求：
（1）小物體經過C點后運動到左邊的最高點與C點的高度差；
（2）小物體經過C點時圓弧軌道對它的最小支持力；
（3）物體在斜面上能夠通過的最大路程．

Answer 1

分析 （1）由幾何知識得知，斜面的傾角等于θ．從A到左邊最高點的過程，運用動能定理求左邊的最高點與C點的高度差．
（2）、（3）物體從A點無初速度滑下后，由于克服摩擦力做功，物體在斜面上運動時機械能不斷減小，到達的最大高度越來越小，最終在BE圓弧上來回運動，到達B點的速度為零．物體在斜面上運動時摩擦力大小為μmgcosθ，總是做負功，滑動摩擦力做的總功與總路程成正比，根據動能定理求解總路程．
當最后穩定后，物體在BE之間運動時，經過C點時速度最小，軌道對物體的支持力最小，根據動能定理求出最小速度，再由牛頓第二定律求解最小支持力．

解答 解：（1）設物體經過C點后運動到左邊的最高點與C點的高度差為h．從A到左邊最高點的過程，由動能定理得：
mg（R-h）-μmgcosθ•Rcotθ=0
解得：h=R（1-μcosθcotθ）
（2）當最后穩定后，物體在BE之間運動時（E與B等高），設物體經過C點的最小速度為v_C，由動能定理得：
mgR（1-cosθ）=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
設軌道對物體的最小支持力為F，由牛頓第二定律得：
F-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
聯立解得：F=3mg-2mgcosθ
（3）設物體在斜面上滑行的總路程為S．對物體從A到B（或E）的過程，應用動能定理得：
mgRcosθ-μmgcosθS=0
解得：S=$\frac{R}{μ}$
答：（1）小物體經過C點后運動到左邊的最高點與C點的高度差是R（1-μcosθcotθ）；
（2）小物體經過C點時圓弧軌道對它的最小支持力是3mg-2mgcosθ；
（3）物體在斜面上能夠通過的最大路程是$\frac{R}{μ}$．

點評 本題是動能定理與牛頓運動定律的綜合應用，關鍵是分析物體的運動過程，抓住滑動摩擦力做功與路程有關這一特點進行研究．