Question

12．如圖所示，質(zhì)量為m的小球置于正方體的質(zhì)量為M的光滑盒子中，盒子的邊長略大于球的直徑．某同學拿著該盒子在豎直平面內(nèi)做半徑為R的勻速圓周運動，已知重力加速度為g，空氣阻力不計．
（1）要使在最高點時盒子與小球之間恰好無作用力，盒子做圓周運動的角速度多大？
（2）設(shè)小球在最高點對盒子的壓力為F₁．在最低點對盒子的壓力為F₂，試作出（F₂-F₁）-ω²圖象．
（3）盒子運動到與圓心等高的位置時，這位同學對盒子的作用力多大？

Answer 1

分析 （1）在最高點，盒子與小球之間無作用力，知小球靠重力提供向心力，結(jié)合牛頓第二定律求出角速度的大小；
（2）分別在最低點和最高點，根據(jù)牛頓第二定律列式求解F₁和F₂，進而求出（F₂-F₁），從而畫出（F₂-F₁）-ω²圖象；
（3）當盒子運動到與圓心等高的位置時，這位同學對盒子作用力的水平分力F′提供向心力，豎直分力F″與重力平衡，據(jù)此列式求解．

解答 解：（1）要使在最高點時盒子與小球之間恰好無作用力，由重力提供向心力，則有mg=mRω² 
解得：ω=$\sqrt{\frac{g}{R}}$
（2）當ω≤$\sqrt{\frac{g}{R}}$時，
${F}_{2}-mg=m{ω}^{2}R$，
mg-F₁=mω²R
解得：F₂-F₁=2mRω²
當ω＞$\sqrt{\frac{g}{R}}$時，${F}_{2}-mg=m{ω}^{2}R$，
${F}_{1}+mg=m{ω}^{2}R$
解得F₂-F₁=2mg 
則（F₂-F₁）-ω²圖象如圖所示：

（3）當盒子運動到與圓心等高的位置時，這位同學對盒子作用力的水平分力F′提供向心力，豎直分力F″與重力平衡，即 
F′=（M+m）Rω²，F(xiàn)″=（M+m）g 
則該同學對盒子的作用力為F=$\sqrt{F{′}^{2}+F{″}^{2}}=（m+M）\sqrt{{R}^{2}{ω}^{4}+{g}^{2}}$
答：（1）要使在最高點時盒子與小球之間恰好無作用力，盒子做圓周運動的角速度為$\sqrt{\frac{g}{R}}$；
（2）（F₂-F₁）-ω²圖象如圖所示．
（3）盒子運動到與圓心等高的位置時，這位同學對盒子的作用力為$（m+M）\sqrt{{R}^{2}{ω}^{4}+{g}^{2}}$．

點評 解決本題的關(guān)鍵知道小球在最高點和最低點的向心力來源，結(jié)合牛頓第二定律進行求解，難度適中．