Question

8．如圖所示，半徑R=0.5m的光滑圓弧面CDM分別與光滑斜面體ABC和斜面MN相切于C、M點，斜面傾角分別如圖所示，O為圓弧圓心，D為圓弧最低點，C、M在同一水平高度．斜面體ABC固定在地面上，頂端B安裝一定滑輪，一輕質軟細繩跨過定滑輪（不計滑輪摩擦）分別連接小物塊P、Q（兩邊細繩分別與對應斜面平行），并保持P、Q兩物塊靜止，若PC間距為L₁=0.25m，斜面MN足夠長，物塊Q質量m₂=4kg，與MN間的動摩擦因數μ=$\frac{1}{3}$，重力加速度g=l0m/s²．求：（sin37°=0.60，cos37°=0.80）
（1）小物塊P的質量m₁；
（2）燒斷細繩后，物塊P第一次到達D點時對軌道的壓力大小；
（3）物塊P在MN斜面上滑行的總路程．

Answer 1

分析 （1）裝置原來處于靜止狀態，根據共點力平衡條件列式求解P的質量m₁；
（2）先根據動能定理列式求出物塊P到D點的速度，在D點，再根據牛頓第二定律、第三定律求壓力；
（3）物塊P斜面MN上滑行時，由于摩擦力做功，所以機械能不斷減少，最終物塊在CDM之間往復運動，根據動能定理對全程列式求解．

解答 解：（1）根據共點力平衡條件，知兩物體的重力沿斜面的分力相等，滿足：m₁gsin53°=m₂gsin37°
解得：m₁=3kg
即小物塊P的質量m₁為3kg．
（2）物塊P到D過程，由動能定理得
    m₁gh=$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{D}^{2}$
根據幾何關系，有：
    h=L₁sin53°+R（1-cos53°）
在D點，由支持力和重力的合力提供向心力，由牛頓第二定律得：
     F_D-mg=m₁$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
解得：F_D=78N
由牛頓第三定律得，物塊P對軌道的壓力大小為78N．
（3）分析可知最終物塊在CDM之間往復運動，C點和M點速度均為零．
由全過程動能定理得：mgL₁sin53°-μmgL₁cos53°S_總=0
解得：S_總=1.0m
即物塊P在MN斜面上滑行的總路程為1.0m．
答：
（1）小物塊P的質量m₁為3kg；
（2）燒斷細繩后，物塊P第一次到達D點時對軌道的壓力大小是78N；
（3）物塊P在MN斜面上滑行的總路程是1.0m．

點評 本題關鍵對物體受力分析后，根據平衡條件、牛頓第二定律、運動學公式和動能定理綜合求解，對各個運動過程要能靈活地選擇規律列式．要知道滑動摩擦力做功與路程有關．