Question

（12分）如圖所示，ABDO是處于豎直平面內的光滑軌道，AB是半徑為R=15m的圓周軌道，半徑OA處于水平位置，BDO是直徑為d=15m的半圓軌道，D為BDO軌道的中央，一個小球P從A點的正上方距水平半徑OA高H處自由落下，沿豎直平面內的軌道通過D點時對軌道的壓力等于其重力的倍，取g為10m/s²。

（1）H的大小；

（2）試討論此球能否到達BDO軌道的O點，并說明理由；

（3）小球沿軌道運動后再次落到軌道上的速度的大小是多少。

Answer 1

解析：（1）小球從H高處自由落下，進入軌道，沿BDO軌道做圓周運動，小球受重力和軌道的支持力.設小球通過D點的速度為v，通過D點時軌道對小球的支持力為F（大小等于小球對軌道的壓力）提供它做圓周運動的向心力，

即 ①

小球從P點落下一直到沿光滑軌道運動的過程中，機械能守恒有，

②

由①②解得高度m

（2）設小球能夠沿豎直軌道運動到O點時的最小速度為v₀，

則有③

小球至少應從H₀高處落下，④

由③④可得

由H>H₀，小球可以通過O點.

 （3）小球由H落下通過O點的速度為m/s

小球通過O點后做平拋運動，設小球經過時間t落到AB圓弧軌道上，

建立圖示的坐標系，有 ⑤

⑥

且⑦

由⑤⑥⑦可解得時間t=1s（負解舍去）

落到軌道上速度大小為m/s