Question

如圖所示，ABDO是處于豎直平面的光滑軌道，AB是半徑為R=15m的1/4圓周軌道，半徑OA處于水平位置，BDO是直徑為15m的半圓軌道．一個小球P從A點的正上方距水平半徑OA高H處自由落下，由A點進入豎直平面內的軌道，當小球通過最高點O時，小球與軌道間作用力為重力的5/3倍．取g=10m/s²．求：
（1）計算小球下落的高度H是多少？
（2）經軌道運動后，再次落到軌道上的速度的大小．

Answer 1

分析：（1）設小球通過O點的速度為v₀．在O點由重力和軌道的壓力的合力提供向心力，根據向心力公式列出方程，求出v₀．小球從P點落下到運動到O點的全過程中，只有重力做功，機械能守恒，可解得H的高度；
（2）小球通過O點后作平拋運動，設小球經時間t落到AB圓弧軌道上，根據平拋運動的規律和幾何關系結合即可求解．

解答：解：（1）過O點時圓周運動的半徑為R=7.5m．
小球P從H高下落并運動到O點的全過程中，機械能守恒，有 mgH=

1

2

m

v

2 0

在O點，根據牛頓第二定律得：N+mg=

m v 2 0

R

又由題意有，N=

5

3

mg
則得 

5

3

mg+mg=

m v 2 0

R

聯立解得：H=

4

3

R=10m
（2）小球通過O點后作平拋運動，設小球經時間t落到AB軌道上，位移 R′=15m
 x=v₀t
 y=

1

2

gt2
且 x²+y²=R′²
由三式解得：t=1s
小球落到軌道上的速度 v=

v 2 0 +g2t2

=17.3m/s
答：（1）小球下落的高度H是10m．
（2）經軌道運動后，再次落到軌道上的速度的大小為17.3m/s．

點評：整個過程中物體的機械能守恒，離開O點小球做平拋運動，直到落到軌道上，知道物體的運動過程，根據物體的不同的運動狀態，采用相應的物理規律求解即可．