Question

如圖所示，水平地面和半圓軌道面均光滑，質量M=1kg的小車靜止在地面上，小車上表面與R=0.24m的半圓軌道最低點P的切線相平．現有一質量m=2kg的滑塊（可視為質點）以v₀=6m/s的初速度滑上小車左端，二者共速時小車還未與墻壁碰撞，當小車與墻壁碰撞時即被粘在墻壁上，已知滑塊與小車表面的滑動摩擦因數μ=0.2，g取10m/s²，求：
（1）滑塊與小車共速時的速度及小車的最小長度；
（2）滑塊m恰好從Q點離開圓弧軌道時小車的長度；
（3）討論小車的長度L在什么范圍，滑塊能滑上P點且在圓軌道運動時不脫離圓軌道？

Answer 1

分析：（1）滑塊在小車滑行過程，系統所受的合外力為零，動量守恒，可求出共同速度．小車的長度與系統產生的內能有關．當兩者速度相同滑塊剛好滑到小車的右端時，小車的長度最短，根據能量守恒求解最小長度；
（2）滑塊m恰好從Q點離開圓弧軌道時，由重力提供向心力，由牛頓第二定律求得經過Q點時的速度．小車粘在墻壁后，滑塊在車上滑動，對滑塊從車上開始滑動到運動到Q點的過程，運用動能定理即可求得滑塊滑過的距離，由幾何關系求出小車的長度；
（3）滑塊不脫離圓軌道可能從Q點離開軌道，也可能滑到T點，根據動能定理結合上題的結果可求出L的范圍．

解答：解：（1）由動量守恒知，mv₀=（m+M）v₁，得v₁=4m/s
  設小車的最小長度為L₁
由能量守恒知μmgL 1=

1

2

mv 0 2-

1

2

(m+M)v1 2，
得  L₁=3m
（2）m恰能滑過圓弧的最高點，mg=m

v 2 Q

R

小車粘在墻壁后，滑塊在車上滑動，運動到最高點Q，在這個過程對滑塊由動能定理：
   -μmgL2-mg2R=

1

2

m

v

2 Q

-

1

2

m

v

2 1

解得：L₂=1m
所以小車長度L=L₁+L₂=4m
（3）由（2）可知，滑塊要想運動到Q點，小車的長度L必須滿足：3m≤L≤4m
若滑塊恰好滑至

1

4

圓弧到達T點時就停止，則滑塊也能沿圓軌道運動而不脫離圓軌道．
小車粘在墻壁后，滑塊在車上滑動，運動到T點，在這個過程對滑塊由動能定理：
  -μmg

L

′ 2

-mgR=0-

1

2

m

v

2 1

解得

L

′ 2

=2.8m
此時小車的長度為L′=L₁+L₂′=5.8m，小車的長度滿足：3m≤L≤5.8m．
答：（1）滑塊與小車共速時的速度為4m/s，小車的最小長度為3m；
（2）滑塊m恰好從Q點離開圓弧軌道時小車的長度為4m；
（3）小車的長度L在3m≤L≤4m或3m≤L≤5.8m范圍，滑塊能滑上P點且在圓軌道運動時不脫離圓軌道．

點評：當遇到相互作用的問題時要想到運用動量守恒定律并結合能量守恒定律求解，當遇到豎直面內圓周運動問題時注意臨界速度的求法．該題還要注意對滑塊能沿圓軌道運動而不脫離圓軌道的情景分析．