Question

20．如圖所示，一個半徑為r的半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O點為其球心，碗的內表面及碗口是光滑的，一根細線跨在碗口上，線的兩端分別系有可視為質點的質量為m₁和m₂的小球且m₁=2m₂，讓質量為m₁的小球從碗口靜止釋放，當其沿碗壁到達碗底時速度為v₁，此時質量為 m₂的小球速度為v₂，則在這個過程中（　�。�

• A． 小球m₁所受重力的功率一直增大
• B． 小球m₂的重力勢能變化量為m₂gr
• C． v₂=v₁sin45°
• D． v₂=$\sqrt{\frac{2gr（2-\sqrt{2}）}{5}}$

Answer 1

分析 分析初末位置的重力瞬時功率，分析重力功率的變化情況．質量為m₁的小球下滑的過程，對于兩球組成的系統，只有重力做功，系統的機械能守恒．m₁球在碗底時，兩球的速度大小不等，應將m₁球的速度沿繩和垂直于繩的方向分解，沿繩子方向的分速度即等于m₂球的速度大小．根據機械能守恒定律和速度關系列式求v₂．

解答 解：A、剛開始釋放的瞬間，小球m₁的速度為0，重力的功率為0．到達碗底時，重力和速度垂直，重力的功率也為0，小球m₁所受重力的功率先增大后減小，故A錯誤．
B、小球m₂上升的高度 h=$\sqrt{2}$r，則其重力勢能變化量為m₂gh=$\sqrt{2}$m₂gr．故B錯誤．
C、將m₁球的速度沿繩和垂直于繩的方向分解，沿繩子方向的分速度v₁即等于m₂球的速度v₂大�。�即：v₂=v₁sin45°．故C正確．
D、根據兩球組成的系統機械能守恒有：m₁gr-$\sqrt{2}$m₂gr=$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{1}^{2}$+$\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{2}^{2}$
又 v₂=v₁sin45°
聯立解得，v₂=$\sqrt{\frac{2gr（2-\sqrt{2}）}{5}}$，故D正確．
故選：CD

點評 本題是簡單的連接體問題，系統的機械能守恒，單個小球機械能并不守恒．注意連接體中兩個物體的速度大小不一定相等．要應用速度的分解求出兩個小球的速率關系．