Question

12．如圖所示，ABC是固定在絕緣水平面上的光滑金屬導軌，長度AB=BC=L，夾角為60°，且單位長度的電阻均為r，導軌處于磁感應強度大小為B，方向垂直紙面向里的勻強磁場中，MN是一根金屬桿，長度大于L，電阻忽略不計．現MN在外力作用下以速度v₀在ABC上勻速滑行，始終與導軌接觸良好，并且與AC確定的直線保持平行．求：（1）在導軌上滑行過程中MN受安培力F與滑行位移x的關系表達式并畫出F-x圖象；
（2）滑行全過程中構成回路所產生的焦耳熱Q和通過B點截面的電量q．

Answer 1

分析 （1）MN切割磁感線，運用法拉第電磁感應定律求出感應電動勢的表達式．應用閉合電路歐姆定律求出感應電流的表達式．由公式F=BIL求解安培力F與x的表達式，再畫出圖象．
（2）由圖象求克服安培力做功，由功能關系求出回路所產生的焦耳熱．回路中感應電流不變，由q=It求電量q．

解答 解：（1）滑行距離x時金屬桿產生的感應電動勢為
  E=B（2xtan30°）v₀=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$Bxv₀；
閉合回路的總電阻 R=$\frac{2x}{cos30°}$r=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$xr
金屬桿上的安培力  $F=B\frac{E}{R}（2xtan30°）=\frac{{\sqrt{3}{B^2}{v_0}}}{3r}x$$（0＜x＜\frac{{\sqrt{3}}}{2}L）$
圖象如圖

（2）由圖象圍成“面積”表示金屬桿克服安培力做功，等于回路產生的焦耳熱，則焦耳熱為 Q=$\frac{1}{2}（\frac{\sqrt{3}}{2}L）\frac{{B}_{0}^{2}{v}_{0}L}{2r}$=$\frac{\sqrt{3}{B}^{2}{v}_{0}{L}^{2}}{8r}$
回路中電流  $I=\frac{{B{V_0}}}{2r}$$t=\frac{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}L}}{V_0}$，保持不變
則通過B點截面的電量 $q=It=\frac{{\sqrt{3}BL}}{4r}$
答：
（1）在導軌上滑行過程中MN受安培力F與滑行位移x的關系表達式為F=$\frac{\sqrt{3}{B}^{2}{v}_{0}}{3r}$x（0＜x＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$L），畫出F-x圖象如圖；
（2）滑行全過程中構成回路所產生的焦耳熱Q為$\frac{\sqrt{3}{B}^{2}{v}_{0}{L}^{2}}{8r}$，通過B點截面的電量q是$\frac{\sqrt{3}BL}{4r}$．

點評 解答本題時要注意金屬桿的電阻不計，僅導軌有電阻，而且電阻隨x是變化，能根據物理規律求出物理量之間的關系，從而畫出圖象．