Question

4．如圖所示，質量m=4kg的物體（可視為質點）用細繩拴住，放在水平傳送帶的右端，物體和傳送帶之間的動摩擦因數μ=0.4，傳送帶的長度L=4m，當傳送帶以v=4m/s的速度做逆時針轉動時，繩與水平方向的夾角θ=37^?．已知：g=l0m/s²，sin37^?=0.6，cos37^?=0.8．求：
（1）傳送帶穩定運動時繩子的拉力T；
（2）某時刻剪斷繩子，求物體做勻加速直線運動的時間；
（3）如果提高傳送帶的運行速率，物體就能被較快地傳送到左處，求物體從圖示位置處傳送到左端處的最短時間和傳送帶對應的最小運行速率．

Answer 1

分析 （1）物塊受重力、支持力、拉力和滑動摩擦力處于平衡，根據共點力平衡，運用正交分解求出繩子拉力的大小．
（2）剪斷繩子，物塊先做勻加速直線運動，當速度達到傳送帶速度時，判定物塊是否到達傳送帶的左端，然后結合牛頓第二定律和運動學公式求出物體運動到傳送帶的左端的時間．
（3）物塊一直做加速運動時的時間最短，由此結合運動學的公式與牛頓第二定律即可解答．

解答 解：（1）傳送帶穩定運動時，物體處于平衡狀態：
Tcosθ=μ（mg-Tsinθ）    
代入數據解得：T=15.4N   
（2）剪斷繩子后，根據牛頓第二定律有：μmg=ma   
代入數據求得：a=4 m/s²
勻加速的時間為：t₁=$\frac{v}{a}$=1s                              
（3）提高傳送帶的速度，物塊一直做加速運動時，所以到達傳送帶左端的時間恰好為最短的時間，傳送帶的速度恰好是物塊以最短時間到達左端的最小速度．此時：
$L=\frac{1}{2}a{t}_{2}^{2}$
所以：t₂=$\sqrt{\frac{2L}{a}}=\sqrt{\frac{2×4}{4}}=\sqrt{2}$s
所以傳送帶的最小速度為：${v}_{min}=a{t}_{2}=4×\sqrt{2}=4\sqrt{2}$m/s
答：（1）傳送帶穩定運動時繩子的拉力T為15.4N；
（2）某時刻剪斷繩子，物體做勻加速直線運動的時間是1s；
（3）物體從圖示位置處傳送到左端處的最短時間就是$\sqrt{2}$s，傳送帶對應的最小運行速率是4$\sqrt{2}$m/s．

點評 解決本題的關鍵能夠根據物體的受力，判斷物體的運動，理清整個過程中物塊的運動狀況，結合牛頓第二定律和運動學公式進行求解．