Question

9．質量為m的小球從空中某點由靜止釋放，下落高度h后加上一豎直向上的恒力，再經過相同時間小球又回到原出發點，不計空氣阻力，小球始終沒有落地，重力加速度為g，則下列說法中錯誤的是（　　）

• A． 從加恒力開始到小球返回原出發點的過程中，恒力做的功為2mgh
• B． 從加恒力開始到小球下落至最低點的過程中，小球的動能減少了mgh
• C． 從開始下落到小球運動至最低點的過程中，小球的重力勢能減少了$\frac{4}{3}$mgh
• D． 小球返回原出發點時的速度大小為$\sqrt{8gh}$

Answer 1

分析 小球先做自由落體運動，加上恒力小球先向下做勻減速運動，后向上做勻加速運動．由運動學公式求出t秒末速度大小，加上恒力小球運動可看成一種勻減速運動，自由落體運動的位移與這個勻減速運動的位移大小相等、方向相反，根據牛頓第二定律和運動學公式結合求恒力F，由W=Fh求得F做的功，即可得到重力勢能的變化．由動能定理得求出小球運動到最低點時下降的高度，得到重力勢能的減少量．

解答 解：A、小球先做自由落體運動，后做勻減速運動，兩個過程的位移大小相等、方向相反．設恒力大小為F，加恒力后小球的加速度大小為a，運動時間為t，取豎直向下方向為正方向，則
由$\frac{1}{2}$gt²=-（vt-$\frac{1}{2}$at²），又 v=gt，解得 a=3g，
由牛頓第二定律得  F-mg=ma，聯立解得，F=4mg
則整個過程，恒力做的功為 W=Fh=4mgh，那么小球做的功減少了4mgh．故A錯誤．
B、從加恒力開始到小球下落最低點的過程中，小球動能減少量為△E_k=$\frac{1}{2}$mv²=mgh．故B正確．
C、設加恒力位置到下落最低點過程小球下落的高度為h′，則由 v²=2ah′得
  h′=$\frac{{v}^{2}}{2a}$=$\frac{2gh}{2×3g}$=$\frac{1}{3}$h，從開始下落到小球運動至最低點的過程中，小球重力勢能減少量為△E_P=mg（h+h′）=$\frac{4}{3}$mgh．故C正確．
D、剛加恒力時小球的速度大小為v=gt，小球返回原出發點時的速度大小為 v′=v-at=-2gt=-2v，又 v=$\sqrt{2gh}$，則v′=-2$\sqrt{2gh}$，大小為2$\sqrt{2gh}$=$\sqrt{8gh}$，故D正確．
故選：BCD

點評 本題要分析清楚小球的運動過程，分兩段進行研究，采用整體法研究勻減速運動過程，抓住兩個過程之間的聯系：位移大小相等、方向相反，運用牛頓第二定律、運動學規律和動能定理結合進行研究．