Question

如圖所示，OP₁Q₁與OP₂Q₂是位于同一水平面上的兩根金屬導軌，處在沿豎直方向的勻強磁場中，磁感應強度為B，長度相等的導軌OP₁段與OP₂段相互垂直，交于O點．導軌的P₁Q₁與P₂Q₂段相互平行，相距為2b．一根質量為m的金屬細桿，在t=0s時從O點出發，在外力作用下以恒定的速度v沿導軌向右滑動．在滑動的過程中，桿始終保持與導軌的平行段相垂直，速度方向與導軌的平行段相平行，桿與導軌有良好的接觸．假定導軌與金屬桿都有電阻，且每單位長度的電阻都是r．不計金屬細桿與軌道之間的摩擦．
（1）金屬桿在正交的OP₁、OP₂導軌上滑動時，通過金屬桿中的電流多大？
（2）當t=

2b

V

時，金屬桿受到的安培力多大？
（3）從開始運動到t=

b

V

過程中，外力一共做了多少的功？
（4）若控制外力，使金屬桿從靜止開始作勻加速直線運動，加速度始終為a，試寫出外力隨時間變化的規律．

Answer 1

（1）切割產生的感應電動勢E=BLV，回路中的電阻R=（2

2

Vt+2Vt）r，
根據歐姆定律得：
I1=

BLV

R

=

B?2Vt?V

(2 2 Vt+2Vt)r

=

BV

( 2 +1)r

（2）當t=

2b

V

時，導體棒的有效長度為2b，回路中的總電阻為R=(2

2

b+4b)r，
根據歐姆定律得：
I2=

BLV

R

=

B?2b?V

(2 2 b+4b)r

=

BV

( 2 +2)r

則安培力的大小：FA=BI2L=B

BV

( 2 +2)r

?2b=

2B2bV

( 2 +2)r

．
（3）根據動能定理得：W_F-W_A=0
WF=WA=

0+FAmax

2

?b=

1

2

B

BV

( 2 +1)r

2b?b=

B2Vb2

( 2 +1)r

．
（4）分兩段討論：
①0≤t≤

2b a

S=

1

2

at2，V=at，I1=

Bat

( 2 +1)r

．
F₁-BI₁?2S=ma
F1=ma+

B2a2

( 2 +1)r

t3．
②t＞

2b a

R=

.

2 2 b+2(S-b)+ 2b

.

r=(2

2

b+at2)r
I2=

B?2b?at

R

=

2abBt

(2 2 b+at2)r

F2=ma+

4ab2B2t

(2 2 b+at2)r

．
答：（1）金屬桿在正交的OP₁、OP₂導軌上滑動時，通過金屬桿中的電流為

BV

( 2 +1)r

．
（2）當t=

2b

V

時，金屬桿受到的安培力為

2B2bV

( 2 +2)r

．
（3）從開始運動到t=

b

V

過程中，外力一共做功為

B2Vb2

( 2 +1)r

．
（4）當0≤t≤

2b a

，F1=ma+

B2a2

( 2 +1)r

t3．當t＞

2b a

時，F2=ma+

4ab2B2t

(2 2 b+at2)r

．