Question

7．一群螞蟻都從半徑為R的半球形碗底沿碗面向不同方向緩慢向上爬，假定螞蟻與碗之間動摩擦因數均為μ，設螞蟻爬到的最高點與球心的連線和豎直方向夾角為α，則下列有關說法正確的是（　�。�

• A． 質量小的螞蟻比質量大的螞蟻爬的高度大
• B． 螞蟻沿碗跑到的最大高度與路徑有關，沿曲線爬的更高
• C． 螞蟻沿碗爬到的最大高度相同，且滿足tanα=μ
• D． 螞蟻沿碗爬到的最大高度為R（1-$\frac{1}{\sqrt{1+{μ}^{2}}}$）

Answer 1

分析 螞蟻緩慢上爬，可以認為螞蟻處于平衡狀態，螞蟻所受的摩擦力為靜摩擦力，越往上爬，所受靜摩擦力越大，抓住最大靜摩擦力和滑動摩擦力相等求出最高位置與球心連線和豎直方向的夾角．

解答 解：A、因為螞蟻在半球形碗內沿碗面緩慢向上爬，所以可認為螞蟻一直處于平衡狀態，螞蟻受重力mg（豎直向下）、碗的支持力N（指向球心）、靜摩擦力f（沿切面向上）三力的作用．由力的平衡規律可得N=mgcosα，靜摩擦力f=mgsinα，隨著螞蟻向上爬，α逐漸增大，靜摩擦力f=mgsinα也逐漸增大，當靜摩擦力達到最大時即爬到最高點，此時f=mgsinα=μmgcosα，所以tanα=μ，與螞蟻質量及運動路徑無關，故C正確，AB錯誤．
D、由幾何關系可得最大高度為h=R（1-cosθ）=R（1-$\frac{1}{\sqrt{1+{μ}^{2}}}$），故D正確．
故選：CD

點評 解決本題的關鍵能夠正確地受力分析，運用共點力平衡進行求解，同時能結合幾何關系解題，難度適中．