Question

13．NASA宣布開普勒太空望遠鏡發現了1400光年外天鵝座的“另一個地球”--開普勒452b，開普勒452b的直徑為地球直徑的1.6倍，表面的重力加速度為地球的2倍，公轉周期為384天，距離其母星（開普勒452）的距離為1.05天文單位（地球到其母星太陽的平均距離為一個天文單位），則下列判斷正確的是（　　）

• A． 開普勒452b的平均密度比地球的平均密度小
• B． 開普勒452的質量比太陽的質量略大
• C． 開普勒452b的第一宇宙速度約為地球的第一宇宙速度的1.8倍
• D． 開普勒452b的向心加速度比地球的向心加速度略小

Answer 1

分析 根據萬有引力提供向心力，得出中心天體質量與環繞天體周期和軌道半徑的關系，得出開普勒452的質量與太陽的質量的關系．
根據萬有引力等于重力得出開普勒452b和地球的質量大小關系．
根據重力提供向心力，得出第一宇宙速度的表達式，從而分析判斷．

解答 解：A、萬有引力等于重力，即：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg，解得：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$，平均密度：ρ=$\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3g}{4πGR}$，開普勒452b的直徑為地球直徑的1.6倍，表面的重力加速度為地球的2倍，則：$\frac{{ρ}_{開}}{{ρ}_{地}}$=$\frac{{g}_{開}{R}_{地}}{{g}_{地}{R}_{開}}$=$\frac{2{g}_{地}{R}_{地}}{{g}_{地}×1.6{R}_{地}}$=$\frac{5}{4}$，開普勒452b的平均密度比地球的平均密度大，故A錯誤；
B、萬有引力提供向心力，由牛頓第二定律得：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$r，解得，中心天體質量M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$，因為開普勒452b的周期與地球的公轉周期之比為384：365，軌道半徑之比為1.05：1，可知開普勒452的質量與太陽的質量之比大約為1.05：1，開普勒452的質量比太陽的質量略大，故B正確．
C、萬有引力提供向心力：mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，解得：v=$\sqrt{gR}$，因為開普勒452b的表面的重力加速度與地球表面重力加速度之比為2：1，半徑之比為1.6：1，則第一宇宙速度之比為1.8：1，故C正確；
D、萬有引力提供向心力，由牛頓第二定律得：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=ma，解得：a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$=$\frac{g{R}^{2}}{{r}^{2}}$，表面的重力加速度為地球的2倍，公轉周期為384天，距離其母星（開普勒452）的距離為1.05天文單位（地球到其母星太陽的平均距離為一個天文單位），開普勒452b的向心加速度比地球的向心加速度略小，故D正確；
故選：BCD．

點評 解決本題的關鍵掌握萬有引力定律的兩個重要理論：1、萬有引力等于重力，2、萬有引力提供向心力，并能靈活運用．