Question

17．如圖所示，在距水平地面高h₁=1.2m的光滑水平臺面上，一個質量m=1kg的小物塊壓縮彈簧后被鎖扣K鎖住，儲存的彈性勢能為E_p，現打開鎖扣K，物塊與彈簧分離后將以一定的水平速度向右滑離平臺，并恰好從B點沿切線方向進入光滑豎直的圓弧軌道BC．已知B點距水平地面的高h₂=0.6m，圓弧軌道BC的圓心為O，0點與A點等高，C點的切線水平，并與水平地面上長為L=2.8m的粗糙直軌道CD平滑連接，小物塊沿軌道BCD運動并與右邊的豎直墻壁會發生碰撞，重力加速度g=10m/s²，空氣阻力忽略不計．試求：
（1）小物塊運動到B的瞬時速度v_B大小及彈簧開始時儲存的彈性勢能大��；
（2）小物塊在圓弧軌道BC上滑到C時對軌道壓力N的大小；
（3）若小物塊與墻壁碰撞后速度反向、大小變為碰前的一半，會且只會發生一次碰撞，那么小物塊與軌道CD之間的動摩擦因數μ應該滿足怎樣的條件．

Answer 1

分析 （1）小物塊做平拋運動，根據高度求出平拋運動的時間，由速度公式求得小物塊到達B點時豎直方向的速度，運用運動的分解法求解物塊運動到B的瞬時速度v_B；小物塊從釋放到運動達到A的過程中，運用機械能守恒定律求彈簧開始時儲存的彈性勢能大�。�
（2）先根據功能關系列式求解C點的速度，在C點，支持力和重力的合力提供向心力，根據牛頓第二、第三定律列式求解；
（3）根據能量守恒列出能量等式解決問題．由于物塊的末位置不確定，要考慮物塊可能的滑過的路程．

解答 解：（1）小物塊由A運動到B的過程中做平拋運動，在豎直方向上根據自由落體運動規律可知，小物塊由A運動到B的時間為：
t=$\sqrt{\frac{2（{h}_{1}-{h}_{2}）}{g}}$=$\frac{\sqrt{3}}{5}$s                     　
到達B點時豎直方向的速度大小為：
 v_By=gt=2$\sqrt{3}$m/s                               
根據圖中幾何關系可知，
  cos∠BOC=$\frac{{h}_{1}-{h}_{2}}{{h}_{1}}$
解得：cos∠BOC=60°
所以，v_B與水平方向的夾角為60°
根據平拋運動規律有：
 v_B=$\frac{{v}_{By}}{sin60°}$=4m/s                         
 v₀=v_Bcos60°=2m/s                            
小物塊從釋放到運動達到A的過程中，機械能守恒，有
 E_P=$\frac{1}{2}$mv₀²=2J                                 
（2）對小球從A到C的運動過程，根據能的轉化與守恒可知，
  E_p+mgh₁=$\frac{1}{2}$mv_C²，
解得：v_C=2$\sqrt{7}$m/s，
對小球在圓弧軌道C點應用牛頓運動定律：
  N_c-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$ 
解得  N_c≈33.3N        
根據牛頓第三定律知，物塊在圓弧軌道BC上滑到C時對軌道壓力 N=N_c≈33.3N        
（3）依據題意知，
①μ的最大值對應的是物塊撞墻前瞬間的速度剛好等于零，根據能量關系有：
mgh₁+E_p=μmgL   代入數據解得：μ=$\frac{1}{2}$
②對于μ的最小值求解，首先應判斷物塊第一次碰墻后反彈，能否沿圓軌道滑離B點，設物塊碰前在D處的速度為v₂，由能量關系有：
  mgh₁+E_p=μmgL+$\frac{1}{2}$mv₂²
第一次碰墻后返回至C處的動能為：E_kC=$\frac{1}{8}$mv₂²-μmgL  可知即使μ=0，有：
  $\frac{1}{2}$mv₂²=14J，$\frac{1}{8}$mv₂²=3.5J＜mgh₂=6J，小物塊不可能返滑至B點      
故μ的最小值對應著物塊撞后回到圓軌道最高某處，又下滑經C恰好至D點停止，因此有：
  $\frac{1}{8}$mv₂²=2μmgL，聯立mgh₁+E_p=μmgL+$\frac{1}{2}$mv₂²，解得：μ=$\frac{1}{18}$
綜上可知滿足題目條件的動摩擦因數μ值：$\frac{1}{18}$＜μ≤$\frac{1}{2}$
答：（1）小物塊運動到B的瞬時速度v_B大小為4m/s，彈簧開始時儲存的彈性勢能大小2J．
（2）物塊在圓弧軌道BC上滑到C時對軌道壓力為33.3N．  
（3）小物塊與軌道CD之間的動摩擦因數μ應該滿足的條件是：$\frac{1}{18}$＜μ≤$\frac{1}{2}$．

點評 做物理問題應該先清楚研究對象的運動過程，根據運動性質利用物理規律解決問題；關于能量守恒的應用，要清楚物體運動過程中能量的轉化．