Question

14．在一個圓筒內有一個折射率為n、半徑為R的半球形玻璃磚，玻璃磚的平面與圓筒壁垂直，圓筒的半徑也為R，此裝置的剖面圖如圖所示．現有一束平行單色光垂直玻璃磚的平面射向玻璃磚，有部分光線從玻璃磚中射出，已知光在真空中的速度為c，求：
（i）射出玻璃磚的光線在玻璃磚中傳播的最短時間；
（ii）要想所有光線都不需要射出玻璃磚，可在玻璃磚的平面上粘貼黑紙，求黑紙的最小面積．

Answer 1

分析 （i）射出玻璃磚時間最短的光線恰好在玻璃磚圓弧發生全反射，根據sinC=$\frac{1}{n}$求出全反射臨界角，再由數學知識求出光線在玻璃中的運動距離，由v=$\frac{c}{n}$求得光線在玻璃中的速度，從而求得最短的傳播時間；
（ii）可根據幾何知識求在玻璃磚的平面上粘貼黑紙，

解答 解：（i）光線從玻璃磚射入空氣，設全反射臨界角為θ，則：sinθ=$\frac{1}{n}$
由數學知識得到：cosθ=$\sqrt{1-si{n}^{2}θ}$=$\frac{\sqrt{{n}^{2}-1}}{n}$

當入射角等于全反射臨界角θ時（上圖中的光線a），光線在玻璃中的運動距離為 x=Rcosθ
光線在玻璃中的速度為 v=$\frac{c}{n}$
光線在玻璃中的時間為 t=$\frac{x}{v}$
解得時間為：t=$\frac{R}{c}$$\sqrt{{n}^{2}-1}$．
（ii）設光線a由空氣射入玻璃的入射點與玻璃磚球心O點之間的距離為r，則 r=Rsinθ
所以黑紙的最小面積為：S=πr²
解得：S=$\frac{π{R}^{2}}{{n}^{2}}$．
答：（i）射出玻璃磚的光線在玻璃磚中傳播的最短時間是$\frac{R}{c}$$\sqrt{{n}^{2}-1}$．
（ii）黑紙的最小面積是$\frac{π{R}^{2}}{{n}^{2}}$．

點評 本題的關鍵要掌握全反射產生的條件，結合幾何知識進行求解即可，此類問題要注意把握隱含的臨界狀態，準確作出光路圖進行解題．