Question

18．如圖所示，兩根相距為L的足夠長的兩平行光滑導軌固定在同一水平面上，并處于豎直方向的勻強磁場中，磁場的磁感應強度為B，ab和cd兩根金屬細桿靜止在導軌上面，與導軌一起構成矩形閉合回路．兩根金屬桿的質量關系為m_ab=2m_cd=2m、電阻均為r，導軌的電阻忽略不計，從t=0時刻開始，兩根細桿分別受到平行于導軌方向、大小均為F的拉力作用，分別向相反方向滑動，經過時間T時，兩桿同時達到最大速度，以后都作勻速直線運動．
（1）若在t₁（t₁＜T）時刻ab桿速度的大小等于v₁，求此時時刻ab桿加速度的大小為多少？
（2）在0～T時間內，經過ab桿橫截面的電量是多少？

Answer 1

分析 （1）對兩個桿整體，受兩個重力、兩個支持力、兩個拉力和兩個安培力，合力為零，故系統動量守恒，根據動量守恒定律得到兩個棒的速度之比；
在t₁（t₁＜T）時刻ab桿速度的大小等于v₁，對ab桿受力分析，根據切割公式、歐姆定律、動量守恒定律和牛頓的第二定律列式求解加速度；
（2）達到最大拉力時，安培力與拉力F平衡，根據平衡條件、切割公式、歐姆定律、動量守恒定律列式求解最大速度；
在對ab桿的加速過程根據動量定理列式求解即可．

解答 解：（1）在兩金屬桿運動過程中，對兩桿組成的系統滿足動量守恒，設此時桿cd的速度為v₂，以向右為正方向，滿足2m v₁-m v₂=0，得v₂=2v₁ ；
此時刻回路中產生的電動勢為E=Bl（v₁+v₂）=3Blv₁ ；
此時刻回路中的電流大小為I₁=$\frac{E}{2r}=\frac{{3Bl{v_1}}}{2r}$
ab桿所受的安培力大小為F₁=BI₁l=$\frac{{3{B^2}{l^2}{v_1}}}{2r}$
此時刻ab桿的加速度大小為a=$\frac{{F-{F_1}}}{2m}=\frac{F}{2m}-\frac{{3{B^2}{l^2}{v_1}}}{4mr}$
（2）設達到最大速度時ab桿的速度為v，則cd桿的速度為v′，以向右為正方向，根據動量守恒可得 2m v-m v′=0，
解出v′=2v；
回路中產生的電動勢為E′=Bl（v+v′）=3Blv，
回路中的電流大小為I′=$\frac{E}{2r}=\frac{3Blv}{2r}$，
ab桿所受的安培力大小為F′=BI′l=$\frac{{3{B^2}{l^2}v}}{2r}$
桿達到最大速度時所受的拉力與安培力平衡，即F=F′，由F=$\frac{{3{B^2}{l^2}v}}{2r}$，
解得：$v=\frac{2Fr}{{3{B^2}{l^2}}}$；
在0～T時間內，設通過ab桿的平均電流為$\overline{I}$，以向左為正方向，對ab桿應用動量定理得 FT-B$\overline{I}$lT=2mv，
解得通過ab桿截面的電量q=$\overline{I}$T=$\frac{FT}{Bl}-\frac{4Fmr}{3{B}^{3}{l}^{3}}$；
答：（1）若在t₁（t₁＜T）時刻ab桿速度的大小等于v₁，此時時刻ab桿加速度的大小為$\frac{F}{2m}-\frac{3{B}^{2}{l}^{2}{v}_{1}}{4mr}$；
（2）在0～T時間內，經過ab桿橫截面的電量是$\frac{FT}{Bl}-\frac{4Fmr}{3{B}^{3}{l}^{3}}$．

點評 本題關鍵是明確兩個棒系統動量守恒，根據切割公式、平衡條件、安培力公式和歐姆定律列式求解；注意第二問求解電量時，要使用電流的平均值．