Question

10．宇宙中某雙星由質量不等的星體A和B組成，兩星在相互之間的萬有引力作用下繞兩者連線上某一定點C做勻速圓周運動．由天文觀察到期運動周期為T，A到C點的距離為r1，A和B的距離為r，已知引力常數為G，由此可求出星體B的質量為（　　）

• A． $\frac{4{π}^{2}{r}^{2}{r}_{1}^{\;}}{G{T}^{2}}$
• B． $\frac{4π{r}_{1}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$
• C． $\frac{4πr{{\;}^{2}r}_{1}}{G{T}^{2}}$
• D． $\frac{4π{r}^{2}（r-{r}_{1}）}{G{T}^{2}}$

Answer 1

分析 雙星系統具有相同的周期，根據萬有引力提供向心力，得出雙星質量之和的表達式，根據半徑關系與質量的關系求出星體B的質量．

解答 解：雙星具有相同的角速度，對星體A，有：$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m{r}_{1}{ω}^{2}$=$m{r}_{1}\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，對星體B，有：$\frac{GMm}{{r}^{2}}=M{r}_{2}{ω}^{2}$=M${r}_{2}\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，
解得$m=\frac{4{π}^{2}{r}^{2}{r}_{2}}{G{T}^{2}}$，M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{2}{r}_{1}}{G{T}^{2}}$，
則M+m=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$，
因為mr₁=Mr₂=M（r-r₁），則$\frac{M}{m}=\frac{{r}_{1}}{r-{r}_{1}}$，
解得星體B的質量M=$（M+m）×\frac{{r}_{1}}{r}=\frac{4{π}^{2}{r}^{2}{r}_{1}}{G{T}^{2}}$．
故選：A．

點評 解決本題的關鍵知道雙星系統的特點，結合萬有引力提供向心力進行求解．知道雙星做圓周運動的半徑之比等于質量之反比．