Question

1．如圖甲所示，兩根足夠長的光滑平行金屬導軌相距l=0.4 m，導軌平面與水平面成θ=30°角，下端通過導線連接阻值R=0.5Ω的電阻．金屬棒ab阻值r=0.3Ω，質量m=0.2kg，放在兩導軌上，與導軌垂直并保持良好接觸．其余部分電阻不計，整個裝置處于垂直導軌平面向上的勻強磁場中．取g=10 m/s²．
（1）若磁場是均勻增大的勻強磁場，在開始計時即t=0時刻磁感應強度B₀=2.0T，為保持金屬棒靜止，作用在金屬棒上平行斜面向上的外力F隨時間t變化的規律如圖乙所示，求磁感應強度B隨時間t變化的關系．
（2）若磁場是磁感應強度大小恒為B₁的勻強磁場，通過額定功率P=10W的小電動機對金屬棒施加平行斜面向上的牽引力，使其從靜止開始沿導軌做勻加速度直線運動，經過$\frac{8}{7}$ s電動機達到額定功率，此后電動機功率保持不變，金屬棒運動的v-t圖象如圖丙所示．試求磁感應強度B₁的大小和小電動機剛達到額定功率時金屬棒的速度v₁的大小？

Answer 1

分析 （1）由磁場的變化均勻，可知產生的感應電流是恒定的，則金屬棒受到的安培力恒定，又金屬棒靜止，由受力平衡可得磁感應強度與時間關系．
（2）金屬棒達到最大速度時，合力為零，由額定功率可以求得此時的牽引力，由感應電動勢可以求得感應電流，進而得到安培力，帶入平衡方程可得B₁，同理可以求得小電動機剛達到額定功率時金屬棒的速度v₁的大小．

解答 解：（1）由于磁場均勻增大，所以金屬棒中的電流I大小保持不變，安培力F_安方向沿斜面向下，設任意時刻t磁感應強度為B，金屬棒靜止，合外力為零，則有：
F=mgsinθ+BIl
由圖乙可知在任意時刻t外力為：F=（2+t）N
在t=0時刻有：F₀=mgsinθ+B₀Il
由圖可知，F₀=2 N
解得：B₀=2T；
聯立解得：B=（2+2t） T
（2）由圖丙可知，金屬棒運動的最大速度v_m=5 m/s，此時金屬棒所受合力為零，設金屬棒此時所受拉力大小為F_m，流過棒中的電流為I_m，則
最大功率P=F_mv_m
由平衡條件可得：F_m-mgsinθ-B₁I_ml=0
最大電動勢為：E_m=B₁lv_m
最大電流為：I_m=$\frac{{E}_{m}}{R+r}$
即：$\frac{P}{{v}_{m}}$-mgsinθ-$\frac{{B}_{1}^{2}{l}^{2}{v}_{m}}{R+r}$=0
代入數據解得：B₁=1T
小電動機剛達到額定功率時，設金屬棒所受拉力大小為F₁，加速度大小為a，運動的速度大小為v₁，流過金屬棒的電流為I₁，根據牛頓第二定律得：
F₁-mgsinθ-B₁I₁l=ma
由功率公式可得：P=F₁v₁
勻加速過程的末速度：v₂=at
產生的電動勢為：E₁=B₁lv₁
感應電流為：I₁=$\frac{{E}_{1}}{r+R}$
即：$\frac{P}{{v}_{1}}$-mgsinθ-$\frac{{B}_{1}{l}^{2}{v}_{1}}{R+r}$=$\frac{m{v}_{1}}{t}$
代入數據解得：v₁=4m/s
答：（1）磁感應強度B隨時間t變化的關系B=（2+2t） T．
（2）磁感應強度B₁的大小為1T，小電動機剛達到額定功率時金屬棒的速度v₁為4m/s

點評 本題考查導體切割磁感線中的功能關系以及動力學的分析，解題的重點是對給定的圖象的識別，要能從圖象中識別出來力的變化，物體運動的變化才能明確物理過程，再正確選擇物理規律分析求解即可．