Question

12．如圖所示，豎直放置的質量M=0.4kg，長為L的圓這頂端塞有一個質量為m=0.1kg的彈性小球，球和管間的滑動摩擦力和最大靜摩擦力大小均為4N，圓管從下端離地面距離H=1.25m處自由落下，落地后向上彈起的速度與落地時速度大小相等地，假設圓管彈起過程中圓球不會滑出圓管，空氣阻力的作用不計．
（1）求圓管觸地反彈起時，圓管和小球的加速度大小；
（2）求圓管反彈后經過多少時間與小球達到相對靜止；
（3）要使小球不滑出圓管，圓管長度L至少為多少．

Answer 1

分析 （1）根據牛頓第二定律，分別求圓管和小球的加的速度．
（2）根據管上升的加速度，以及相對加速度，再根據運動學公式求出時間．
（3）根據功能關系求出球相對于管靜止時的相對位移，即為管的最小長度．

解答 解：（1）觸地反彈起時，根據牛頓第二定律得：
管的加速度 a₁=$\frac{Mg+{f}_{m}}{M}$=$\frac{4+4}{0.4}$=20m/s²，方向向下
球的加速度 a₂=$\frac{{f}_{m}-mg}{m}$=$\frac{4-1}{0.1}$=30m/s²，方向向上．
（2）圓管觸地前的速度  v=$\sqrt{2gH}$=$\sqrt{2×10×1.25}$=5m/s
設圓管反彈后經過t時間與小球達到相對靜止，取向上為正方向，則有
  v-a₁t=-v+a₂t
代入數據解得：t=0.2s
（3）要使小球恰好不滑出圓管，管落在地面上速度為零時球停在管的底端速度為零，根據能量守恒定律得：
 f_mL=MgH+mg（L+H）
可得管的最小長度 L=$\frac{（M-m）gH}{{f}_{m}-mg}$=$\frac{（0.4-0.1）×10×1.25}{4-1}$=1.25m
答：
（1）圓管觸地反彈起時，管的加速度是20m/s²，方向向下．球的加速度是30m/s²，方向向上．
（2）圓管反彈后經過0.2s時間與小球達到相對靜止．
（3）要使小球不滑出圓管，圓管長度L至少為1.25m．

點評 本題的難點在于管和球的運動情況難于判斷，關鍵通過計算理清球和管的運動規律，結合牛頓第二定律和運動學公式進行求解．