Question

14．如圖所示，在豎直平面內有半徑為R和1.5R的兩個圓，兩圓的最高點相切，切點為a，b和c分別是小圓和大圓上的兩個點，其中ab長為1.6R，ac長為3R．現沿ab和ac建立兩條光滑軌道，自a處由靜止釋放小球，已知小球沿ab軌道運動到b點所用時間為t₁，沿ac軌道運動到c點所用時間為t₂，則t₁與t₂之比為（　�。�

• A． 2：3
• B． 5：8
• C． 15：16
• D． $\sqrt{2}：\sqrt{3}$

Answer 1

分析 設ab和ac間的夾角為θ，根據幾何關系求出cosθ，小球沿ab做勻加速直線運動，根據牛頓第二定律求出加速度，再根據勻變速直線運動位移時間公式求出時間，小球從a運動到c做自由落體運動，根據h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$求出時間，進而求出時間之比．

解答 解：設ab和ac間的夾角為θ，根據幾何關系可知，cos$θ=\frac{ab}{2R}=\frac{1.6R}{2R}=\frac{4}{5}$
小球沿ab做勻加速直線運動，根據牛頓第二定律得：a=$\frac{mgcosθ}{m}=\frac{4}{5}g$，
根據運動學基本公式得：1.6R=$\frac{1}{2}a{{t}_{1}}^{2}$①，
小球從a運動到c做自由落體運動，則有3R=$\frac{1}{2}g{{t}_{2}}^{2}$②
根據①②解得：$\frac{{t}_{1}}{{t}_{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，故D正確．
故選：D

點評 本題主要考查了牛頓第二定律以及運動學基本公式的直接應用，解題時要分析清楚小球的運動情況，并能結合幾何關系求解，難度適中．