Question

12．如圖所示是一皮帶傳輸裝載機械示意圖．井下挖掘工將礦物無初速放置于沿圖示方向運行的傳送帶A端，被傳輸到末端B處，再沿一段圓形軌道到達軌道的最高點C處，然后水平拋到貨臺上．已知半徑為R=0.4m的圓形軌道與傳送帶在B點相切，O點為半圓的圓心，BO、CO分別為圓形軌道的半徑，礦物m可視為質點，傳送帶與水平面間的夾角θ=37°，礦物與傳送帶間的動摩擦因數μ=0.8，傳送帶勻速運行的速度為v₀=8m/s，傳送帶AB點間的長度為s_AB=45m．若礦物落點D處離最高點C點的水平距離為s_CD=2m，豎直距離為h_CD=1.25m，礦物質量m=50kg，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s²，不計空氣阻力．求：
（1）礦物到達B點時的速度大小；
（2）礦物到達C點時對軌道的壓力大小；
（3）礦物由B點到達C點的過程中，克服阻力所做的功．

Answer 1

分析 （1）先假設礦物在AB段始終加速，根據動能定理求出礦物到達B點時的速度大小，將此速度與送帶勻速運行的速度v₀=8m/s進行比較，確定假設是否合理．
（2）礦物從C到D過程做平拋運動，由平拋運動的規律求出經過C點時的速度大小，根據牛頓第二定律求得軌道對礦物的壓力，即可得到礦物到達C點時對軌道的壓力大小．
（3）礦物由B到C過程中，重力和阻力做功，由動能定理求解克服阻力所做的功．

解答 解：（1）假設礦物在AB段始終處于加速狀態，由動能定理可得
  （μmgcosθ-mgsinθ）s_AB=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
 代入數據得  v_B=6m/s
由于v_B＜v₀，故假設成立，礦物B處速度是6m/s．
（2）設礦物對軌道C處壓力為F，由平拋運動知識可得
    S_CD=v_Ct    
   h_CD=$\frac{1}{2}$gt²
代入數據得礦物到達C處時速度  v_C=4m/s
有牛頓第二定律可得 F′+mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$  
代入數據得 F′=1500N
根據牛頓第三定律可得所求的壓力 F=F′=1500N
（3）礦物由B到C過程，由動能定理得
-mgR（1+cos37°）+W_f=$\frac{1}{2}mν_B^2-\frac{1}{2}mν_c^2$．        
代入數據得 W_f=-140J
即礦物由B到C過程中克服阻力所做的功W_f=140J
答：
（1）礦物到達B點時的速度大小是6m/s；
（2）礦物到達C點時對軌道的壓力大小是1500N；
（3）礦物由B點到達C點的過程中，克服阻力所做的功是140J．

點評 本題主要考查了動能定理的應用及平拋運動的相關公式，要求同學們能根據題目要求選取不同的研究過程運用動能定理解題．