Question

11．如圖所示，宇航員站在某質量分布均勻的星球表面的一斜坡上，從P點以v₀水平拋出一個小球，測得小球經時間t落到斜坡上的另一點Q，已知斜坡傾角為θ，該星球的半徑為R，萬有引力常量為G，求：
（1）該星球表面的重力加速度g；
（2）該星球的密度ρ．

Answer 1

分析 （1）根據平拋運動水平位移和豎直位移的關系，結合運動學公式求出星球表面的重力加速度．
（2）根據萬有引力等于重力求出星球的質量，結合密度公式求出星球的密度．

解答 解：（1）根據$tanθ=\frac{y}{x}=\frac{\frac{1}{2}g{t}^{2}}{{v}_{0}t}=\frac{gt}{2{v}_{0}}$ 得：星球表面的重力加速度g=$\frac{2{v}_{0}tanθ}{t}$．
（2）根據萬有引力等于重力得，$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，
解得：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$=$\frac{2{v}_{0}{R}^{2}tanθ}{Gt}$．
則星球的密度$ρ=\frac{M}{V}$=$\frac{\frac{2{v}_{0}{R}^{2}tanθ}{Gt}}{\frac{4π{R}^{3}}{3}}$=$\frac{3{v}_{0}tanθ}{2πRtG}$．
答：（1）該星球表面的重力加速度g為$\frac{2{v}_{0}tanθ}{t}$；
（2）該星球的密度ρ為$\frac{3{v}_{0}tanθ}{2πRtG}$．

點評 本題考查了萬有引力定律和平拋運動的綜合運用，通過平拋運動規律求出星球表面重力加速度是解決本題的關鍵．