Question

6． 一個質量m=0.20kg的小球系于輕質彈簧的一端，且套在光滑豎立的圓環上的B點，彈簧的上端固定于環的最高點A，環的半徑R=0.50m，彈簧的原長l₀=0.50m，勁度系數為4.8N/m，如圖所示．若小球從圖中所示位置B點由靜止開始滑到最低點C時，彈簧的彈性勢能E_P=0.6J．取g=l0m/s²，求：
（1）小球到C點時的速度v_c的大小．
（2）小球在C點時環對它的作用力大小和方向．
（3）若把該裝置放在光滑水平面上，其他條件不邊，v_C的大小也不變，需對小球做多少功？

Answer 1

分析 （1）小球在下降中小球的重力勢能轉化為動能和彈簧的彈性勢能，由小球與彈簧機械能守恒可求得小球到C點時的速度大小；
（2）小球在最低點C時，由合力充當向心力，由牛頓第二定律和第三定律結合可得出小球在C點對環的作用力．
（3）根據功能關系求外力對小球做的功．

解答 解：（1）在B點時，彈簧處于原長，彈性勢能為0．小球由B點滑到C點的過程，由機械能守恒定律得：
mg（R+Rcos60°）=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$+E_P
代入數據解得：v_C=3m/s
（2）在C點：彈簧的彈力大小為 F_彈=（2R-l₀）k=2.4N，方向豎直向上
設環對小球作用力為N，方向指向圓心，由牛頓第二定律得：
F+N-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
代入數據解得：N=3.2N，方向豎直向上
由牛頓第三定律知，小球對環作用力大小為：N′=N=3.2N，方向豎直向下．
（3）根據功能原理可得：W=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$+E_P．
由第1 題可得：W=mg（R+Rcos60°）=0.2×10×0.5（1+0.5）J=1.5J
答：
（1）小球到C點時的速度v_c的大小3m/s；
（2）小球在C點對環的作用力3.2N，方向豎直向下．
（3）需對小球做1.5J的功．

點評 解第1題時，要注意我們研究的系統是小球與彈簧而不是小球，小球與彈簧組成的系統是機械能守恒，而只對小球來說，機械能是不定恒的．