Question

1．如圖為“高分一號”衛星與北斗導航系統中的“G₁”衛星，在空中某一平面內繞地心O做勻速圓周運動的示意圖．已知衛星“G₁”的軌道半徑為r，地球表面的重力加速度為g，地球半徑為R，萬有引力常量為G．則（　　）

• A． 地球的質量為$\frac{{g{r^2}}}{G}$
• B． 衛星“G₁”的周期為$\frac{2πr}{R}\sqrt{\frac{r}{g}}$
• C． “高分一號”的加速度小于衛星“G₁”的加速度
• D． “高分一號”的運行速度大于第一宇宙速度

Answer 1

分析 根據萬有引力提供向心力和萬有引力等于重力求出衛星的加速度和周期，從而進行判斷．
第一宇宙速度是在地面發射人造衛星所需的最小速度，也是圓行近地軌道的環繞速度，也是圓形軌道上速度的最大值；

解答 解：A、根據萬有引力等于重力，有$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg$，得$M=\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}$，故A錯誤；
B、根據萬有引力提供向心力，得$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$，得$T=2π\sqrt{\frac{{r}_{\;}^{3}}{GM}}=2π\sqrt{\frac{{r}_{\;}^{3}}{g{R}_{\;}^{2}}}$=$\frac{2πr}{R}\sqrt{\frac{r}{g}}$，故B正確；
C、根據牛頓第二定律：$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=ma$，得$a=\frac{GM}{{r}_{\;}^{2}}$，所以“高分一號”的加速度大于衛星“${G}_{1}^{\;}$”的加速度，故C錯誤；
D、第一宇宙速度是圓行近地軌道的環繞速度，也是圓形軌道上速度的最大值，所以“高分一號”的運行速度小于第一宇宙速度，故D錯誤；
故選：B

點評 關于萬有引力的應用中，常用公式是在地球表面重力等于萬有引力，衛星繞地球做圓周運動萬有引力提供圓周運動向心力，這是正確解決本題的關鍵．