Question

（19分）如圖為某種魚餌自動投放器中的投餌管裝置示意圖，其下半部AB是一長為2R的豎直細管，上半部BC是半徑為R的四分之一圓弧彎管，管口沿水平方向，AB管內有一原長為R、下端固定的輕質彈簧。投餌時，每次總將彈簧長度壓縮到0.5R后鎖定，在彈簧上端放置一粒魚餌，解除鎖定，彈簧可將魚餌彈射出去。設質量為m的魚餌到達管口C時，對管壁的作用力恰好為零。不計魚餌在運動過程中的機械能損失，且鎖定和解除鎖定時，均不改變彈簧的彈性勢能。已知重力加速度為g。求：

⑴質量為m的魚餌到達管口C時的速度大小v₁；

⑵彈簧壓縮到0.5R時的彈性勢能E_p；

⑶已知地面與水面相距1.5R，若使該投餌管繞AB管的中軸線OO′在90º角的范圍內來回緩慢轉動，每次彈射時只放置一粒魚餌，魚餌的質量在2m/3到m之間變化，且均能落到水面。持續投放足夠長時間后，魚餌能夠落到水面的最大面積S是多少？

 

Answer 1

（1）（2）3mgR（3）

解析:（1）質量為m的魚餌到達管口C時做圓周運動的向心力完全由重力提供，則mg =

解得　v₁ =

（2）彈簧的彈性勢能全部轉化為魚餌的機械能，由機械能守恒定律有E_P = mg(1.5R+R)+

解得　E_P = 3mgR

（3）不考慮因緩慢轉動裝置對魚餌速度大小的影響，質量為m的魚餌離開管口C后做平拋運動，設經過t時間落到水面上，離OO′的水平距離為x₁，由平拋運動規律有

4.5R = ，x₁ = v₁t+R，解得　x₁ = 4R

當魚餌的質量為時，設其到達管口C時速度大小為v₂，由機械能定律有

E_P =

解得　v₂ =

質量為的魚餌落到水面上時，設離OO′的水平距離為x₂，則x₂ = v₂t+R

解得　x₂ = 7R

魚餌能夠落到水面的最大面積S = ≈ 8.25πR³