Question

2．已知地球半徑為R，地面的重力加速度為g．假設近地衛星I離地面的高度可以忽略，圓軌道衛星II離地面的高度為3R，求：
（1）衛星I和II的運行速度之比；
（2）已知兩衛星繞地運行的軌道平面重合且繞行方向相同，某時刻兩衛星的間距最近，以該時刻為計時起點，求：哪些時刻兩衛星間的距離會最遠？

Answer 1

分析 （1）根據衛星受到的萬有引力等于向心力列式，得到衛星速度表達式，再求解即可．
（2）根據地球表面處重力等于萬有引力列式，結合上題結果得到衛星的角速度．從兩衛星的間距最近到相距最遠時，兩衛星轉過的角度之差等于（n•2π+π），由此列式求解．

解答 解：（1）設任一衛星的質量為m，地球的質量為M，根據萬有引力等于向心力，得：
G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
得：v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$
由題知，近地衛星Ⅰ的軌道為R，衛星Ⅱ的軌道半徑為3R+R=4R，代入上式可得：衛星I和Ⅱ的運行速度之比為 2：1．
（2）在地球表面上，有 mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$，可得 GM=gR²．
衛星的角速度為：ω=$\frac{v}{r}$=$\sqrt{\frac{GM}{{r}^{3}}}$=$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{{r}^{3}}}$
則得近地衛星的角速度為：ω_Ⅰ=$\sqrt{\frac{g}{R}}$，
衛星Ⅱ的角速度為：ω_Ⅱ=$\frac{1}{4}\sqrt{\frac{g}{R}}$
設從兩衛星的間距最近起計時，再經過時間t兩衛星間的距離最遠．則有：
（ω_Ⅰ-ω_Ⅱ）t=（n•2π+π），n=0，1，2，…
解得：t=$\frac{4（2n+1）π}{3}\sqrt{\frac{R}{g}}$，n=0，1，2，…
答：（1）衛星I和Ⅱ的運行速度之比為 2：1．
（2）在t=$\frac{4（2n+1）π}{3}\sqrt{\frac{R}{g}}$，n=0，1，2，…時刻兩衛星間的距離會最遠．

點評 本題關鍵是抓住萬有引力提供向心力和萬有引力等于重力，結合幾何關系解答．