Question

10．在豎直平面內，一根光滑金屬桿彎成圖示形狀，相應的曲線方程為y=2.5cos（kx+$\frac{2π}{3}$）（單位：m），式中k=1m^-1．將一光滑小環套在該金屬桿上，并從x=0處以v₀=5m/s的初速度沿桿向下運動，取重力加速度g=10m/s²，下列說法正確的是（　�。�

• A． 小環沿金屬桿運動過程中，小球與地球組成的系統機械能守恒
• B． 小環運動到x=$\frac{π}{3}$時的速度大小是5m/s
• C． 小環運動到x=$\frac{π}{2}$m時的速度大小是5m/s
• D． 該小環在x軸方向最遠能運動到x=$\frac{5}{6}π$m處

Answer 1

分析 環在運動的過程中，機械能守恒，根據曲線方程可以確定環的位置，即環的高度的大小，再根據機械能守恒可以求得環的速度的大小．根據機械能守恒可求出球達到最遠處時的高度h，然后根據h=y₁-y₂求出y，代入曲線方程即可求出最遠處的x．

解答 解：A、金屬桿光滑，小環在運動過程中只有重力做功，小球與地球組成的系統機械能守恒，故A正確；
B、由曲線方程知，環在x=0處時y₁=2.5cos（kx+$\frac{2π}{3}$）=-$\frac{2.5}{2}$m=-1.25m；在x=$\frac{π}{3}$時，y₂=-2.5m
設小環運動到x=$\frac{π}{3}$時的速度大小是v．選y=0處為零勢能參考平面，由機械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv₀²+mgy₁=$\frac{1}{2}$mv²+mgy₂，解得：v＞5m/s，故B錯誤．
C、設小環運動到x=$\frac{π}{2}$m時的速度大小為v′．當x=$\frac{π}{2}$m時，y₃=2.5cos（kx+$\frac{2π}{3}$）=-$\frac{5\sqrt{3}}{4}$m．
選y=0處為零勢能參考平面，由機械能守恒定律有：$\frac{1}{2}$mv₀²+mgy₁=$\frac{1}{2}$mv²+mgy₃，解得：v′=5$\root{4}{3}$m/s，故C錯誤．
D、由機械能守恒定律可知：mg△h=$\frac{1}{2}$mv₀²得：△h=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$=$\frac{{5}^{2}}{20}$m=1.25m，即知小球上升到最高點時縱坐標y=0，將y=0代入：y=2.5cos（kx+$\frac{2π}{3}$）m，由數學知識可知x=x=$\frac{5}{6}π$m，故D正確．
故選：AD

點評 本題和數學的上的方程結合起來，根據數學方程來確定物體的位置，從而利用機械能守恒來解題．