Question

13．如圖1所示，在同一豎直平面內的兩正對著的半徑為R的相同半圓光滑軌道，相隔一定的距離x，虛線沿豎直方向，一質量為m的小球能在其間運動，今在最高點A與最低點B各放一個壓力傳感器，測量小球對軌道的壓力，g取10m/s²，不計空氣阻力，求：
（1）當小球在B點對軌道的壓力為F_N1，則小球在A點時軌道對小球的壓力F_N2為多少？（用F_N1、x、m、g、R表示）
（2）某同學用這裝置做實驗，改變距離x，測得B、A兩點軌道的壓力差與距離x的圖象如圖2，則①他用的小球質量為多少？
②若小球在最低點B的速度為20m/s，為使小球能沿軌道運動，x的最大值為多少？

Answer 1

分析 （1）對AB過程分析，根據機械能守恒可明確兩點處的速度關系，再根據向心力公式即可得出壓力F_N2的大小；
（2）由（1）得出的F_N2與F_N1的關系進行分析，結合圖象明確圖象中斜率和截距的意義即可求得小球的質量；再根據臨界條件進行分析，則可求得x的最大值．

解答 解：（1）設軌道半徑為R，由機械能守恒定律：
$\frac{1}{2}$mv_B²=mg（2R+x）+$\frac{1}{2}$mv_A²
對B點：F_N1-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$　
對A點：
F_N2+mg=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$
聯解得：小球在A點時軌道對小球的壓力為F_N2=F_N1-$\frac{2mgx}{R}$-6mg
（2）、①由（1）得B、A兩點壓力差△F_N=F_N1-F_N2=$\frac{2mgx}{R}+6mg$　 
由圖象得：截距6mg=3
得m=0.05kg
②因為圖線的斜率k=$\frac{2mg}{R}$=1
解得：R=1m
在A點不脫離的條件為：
mg≤$\frac{m{v}^{2}}{R}$
解得v_A$≥\sqrt{gR}$
聯立解得：x≤17.5m
答：（1）當小球在B點對軌道的壓力為F_N1，則小球在A點時軌道對小球的壓力F_N2為F_N1-$\frac{2mgx}{R}$-6mg；
（2）①他用的小球質量為0.05kg；
②若小球在最低點B的速度為20m/s，為使小球能沿軌道運動，x的最大值為17.5m．

點評 本題考查機械能守恒定律以及向心力公式的應用，解題的關鍵在于正確受力分析，明確物理過程，并注意臨界條件的確定，再根據圖象的性質進行分析求解即可．