Question

8．如圖所示，長為a寬為b的矩形區域內（包括邊界）有磁感應強度為B的勻強磁楊，磁場方向垂直紙面向外，O點有一粒子源，某時刻粒子源向磁場所在區域與磁場垂直的平面內所有方向發射大量質量為m電量為q的帶正電的粒子，粒子的速度大小相同，粒子在磁場中做勻速圓周運動的周期為T，最先從磁場上邊界射出的粒子經歷的時間為$\frac{T}{12}$，最后從磁場中飛出的粒子經歷的時間為$\frac{T}{4}$，不計重力和粒子之間的相互作用，則（　�。�

• A． 粒子做圓周運動的半徑為2b
• B． 粒子速度大小為$\frac{qBb}{m}$
• C． a的長度為（$\sqrt{3}$+1）b
• D． 最后從磁場中飛出的粒子一定從上邊界的中點飛出

Answer 1

分析 根據左手定則可知，粒子在磁場中受到的洛倫茲力的方向向右，將向右偏轉，由運動的特點與運動的最短時間，即可判斷出偏轉的角度；然后由幾何關系求出粒子的半徑，洛倫茲力提供向心力求出粒子運動的速度．根據幾何關系，判斷出最后從磁場中飛出的粒子的軌跡，得出a的長度以及粒子飛出磁場的位置．

解答 解：AB、根據左手定則可知，粒子在磁場中受到的洛倫茲力的方向向右，將向右偏轉．結合運動的特點可知，粒子向上的分速度越大，則越早從上邊界飛出．所以最早從上邊界飛出的粒子進入磁場的方向是豎直向上的．
又由題最先從磁場上邊界射出的粒子經歷的時間為$\frac{T}{12}$，根據：$\frac{t}{T}$=$\frac{θ}{360°}$，則粒子偏轉的角度：θ=$\frac{t}{T}$×360°=$\frac{1}{12}$×360°=30°．
做出這種情況下粒子運動的軌跡如圖1，由圖中幾何關系可知：r=$\frac{sin30°}$=2b

粒子在磁場中運動，洛倫茲力提供向心力，即：qvB=$m\frac{{v}^{2}}{r}$
所以：v=$\frac{qBr}{m}$=$\frac{2qBb}{m}$．故A正確，B錯誤；
CD、粒子的入射的方向在90°的范圍以內，又r=2b，所以粒子運動的軌跡不會超過半個圓，運動的時間不超過半個周期，由 $\frac{t}{T}$=$\frac{θ}{360°}$可知，軌跡的圓心角越大，則運動的時間越長，而圓心角越大，對應的弦長越長，所以粒子運動的最長時間的軌跡，弦長也最長．所以最后射出磁場的粒子一定是從磁場的右邊射出，最后從磁場中飛出的粒子經歷的時間為$\frac{T}{4}$，畫出運動的最長軌跡如圖2，

則：sinα=$\frac{r-b}{r}$=$\frac{2b-b}{2b}$=$\frac{1}{2}$
所以：α=30°，β=90°-α=60°，
由于最后從磁場中飛出的粒子經歷的時間為$\frac{T}{4}$，則偏轉角等于90°，γ=90°-β=30°
由幾何關系可得：a=r•cosα+r•sinγ=2b•cos30°+2b•sin30°=（$\sqrt{3}$+1）b．故C正確，D錯誤．
故選：AC

點評 該題考查帶電粒子在磁場中運動的幾種臨界問題，解題的關鍵是根據題目的條件，正確畫出粒子運動的軌跡，然后從運動的軌跡中確定臨界條件和幾何關系．