Question

8．如圖所示，墻角固定著一根輕質(zhì)彈簧，質(zhì)量為M、半徑為R的$\frac{1}{4}$光滑圓弧形滑槽靜止在光滑水平面上，滑槽底端與水平面相切．一小球（可視為質(zhì)點）從圓弧形滑槽的頂端由靜止釋放，已知小球質(zhì)量為m，M=3m．求：
（1）彈簧的最大彈性勢能E_pm
（2）小球能沖上滑槽的最大高度．

Answer 1

分析 （1）小球下滑過程，小球與弧形槽組成的系統(tǒng)水平方向動量守恒，系統(tǒng)機械能守恒，應用動量守恒定律與機械能守恒定律求出小球滑到滑槽底端時小球與弧形槽的速度，小球壓縮彈簧的過程中，小球和彈簧構(gòu)成的系統(tǒng)機械能守恒，當小球速度減為0時，彈簧的彈性勢能最大，由機械能守恒定律求彈簧的最大彈性勢能E_pm．
（2）小球被彈簧彈開后，小球追上并沖上滑槽，當小球達到最大高度h時，兩者速度相等，然后應用動量守恒定律與機械能守恒定律求出最大高度．

解答 解：（1）以水平向左為正．在小球下滑過程中，以M和m構(gòu)成的系統(tǒng)在水平方向上動量守恒．
設M和m分離時的速度大小分別為v₁、v₂
則有　0=Mv₁-mv₂　　　　　　           　　①
此過程中M和m構(gòu)成的系統(tǒng)機械能守恒，則有
   mgR=$\frac{1}{2}$Mv₁²+$\frac{1}{2}$mv₂²　　　          ②
又　　M=3m　              　　③
聯(lián)解①、②、③得：v₁=$\sqrt{\frac{gR}{6}}$　④
v₂=$\sqrt{\frac{3gR}{2}}$　     　⑤
小球壓縮彈簧的過程中，小球和彈簧構(gòu)成的系統(tǒng)機械能守恒，當小球速度減為0時，彈簧的彈性勢能最大，最大為：
 E_pm=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$=$\frac{3}{4}$mgR　　　　　　　　　⑥
（2）小球被彈簧彈開后，速度大小仍為v₂，方向向左，小球追上并沖上滑槽，當小球達到最大高度h時，兩者速度相等，設為v，此過程中M和m構(gòu)成的系統(tǒng)在水平方向上動量守恒得
   Mv₁+mv₂=（m+M）v　　　　　　　　　 ⑦
此過程中M和m構(gòu)成的系統(tǒng)機械能守恒，有
  $\frac{1}{2}$Mv₁²+$\frac{1}{2}$mv₂²=$\frac{1}{2}$（m+M）v²+mgh　　　⑧
聯(lián)解得：h=$\frac{1}{4}$R　　　　　　　　　　　⑨
答：
（1）彈簧的最大彈性勢能E_pm是$\frac{3}{4}$mgR．　　
（2）小球能沖上滑槽的最大高度是$\frac{1}{4}$R．

點評 本題考查了動量守恒定律與機械能守恒定律的應用，分析清楚物體運動過程，要注意圓弧槽不是固定的，應用動量守恒定律與機械能守恒定律即可正確解題．