Question

7．如圖所示，半徑為R的豎直光滑圓軌道內側底部靜止著一個光滑的小球，現給小球一個沖擊使其在瞬間得到一個水平初速度v₀，若v₀大小不同，則小球能夠上升到的最大高度（距離底部）也不同，下列說法正確的是（　　）

• A． 如果v₀=$\sqrt{gR}$，則小球能夠上升的最大高度為$\frac{R}{2}$
• B． 如果v₀=$\sqrt{2gR}$，則小球能夠上升的最大高度為R
• C． 如果v₀=$\sqrt{3gR}$，則小球能夠上升的最大高度為$\frac{3R}{2}$
• D． 如果v₀=$\sqrt{5gR}$，則小球能夠上升的最大高度為2R

Answer 1

分析 先根據機械能守恒定律求出在此初速度下能上升的最大高度，再根據向心力公式判斷在此位置速度能否等于零即可求解．

解答 解：A、當v₀=$\sqrt{gR}$，根據機械能守恒定律有：$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=mgh，解得h=$\frac{R}{2}$，即小球上升到高度為$\frac{R}{2}$時速度為零，所以小球能夠上升的最大高度為$\frac{R}{2}$．故A正確．
B、設小球恰好能運動到與圓心等高處時在最低點的速度為v，則根據機械能守恒定律得：mgR=$\frac{1}{2}$mv2，解得v=$\sqrt{2gR}$．故如果v₀=$\sqrt{2gR}$，則小球能夠上升的最大高度為R．故B正確．
C、設小球恰好運動到圓軌道最高點時在最低點的速度為v₁，在最高點的速度為v₂．
則在最高點，有mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$
從最低點到最高點的過程中，根據機械能守恒定律得：2mgR+$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$，解得 v₁=$\sqrt{5gR}$，所以v₀=$\sqrt{3gR}$＜$\sqrt{5gR}$時，小球不能上升到圓軌道的最高點，會脫離軌道，在最高點的速度不為零．根據 $\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=mgh+$\frac{1}{2}$mv′²，知最大高度 h＜$\frac{3R}{2}$．故C錯誤．
D、當v₀=$\sqrt{5gR}$，由上分析知，上升的最大高度為2R．故D正確．
故選：ABD

點評 本題主要考查了機械能守恒定律在圓周運動中的運用，要判斷在豎直方向圓周運動中哪些位置速度可以等于零，哪些位置速度不可以等于零．要明確最高點臨界速度的求法：重力等于向心力．