Question

如圖，xOy平面內存在著沿y軸正方向的勻強電場．一個質量為m，帶電荷量為+q的粒子從坐標原點O以速度v₀沿x軸正方向開始運動．當它經過圖中虛線上的M（2

3

a，a）點時，撤去電場，粒子繼續運動一段時間后進入一個矩形勻強磁場區域（圖中未畫出），又從虛線上的某一位置N處y軸負方向運動并再次經過M點．已知磁場方向垂直xOy平面（紙面）向里，磁感應強度大小為B，不計粒子的重力．試求：
（1）電場強度的大小；
（2）N點的坐標；
（3）矩形磁場的最小面積．

Answer 1

如圖是粒子的運動過程示意圖．
（1）粒子從O到M做類平拋運動，設時間為t，則有
2

3

a=v0t                   
a=

1

2

×

qE

m

t2                  
得E=

mv02

6qa

                    
電場強度大小為：E=

mv2

6qa

（2）設粒子運動到M點時速度為v，與x方向的夾角為α，則：vy=

qE

m

t=

3

3

v0            
v=

v 20 + v 2y

=

2 3

3

v0          
tanα=

vy

v0

=

3

3

，即α=300，
由題意知，粒子從P點進入磁場，從N點離開磁場，粒子在
磁場中以O′點為圓心做勻速圓周運動，設半徑為R，
則：qBv=m

v2

R

，
代入數據得粒子做圓周運動的半徑為：
R=

mv

qB

=

2 3 mv0

3qB

             
由幾何關系知：β=

1

2

∠PMN=300   
所以N點的縱坐標為yN=

R

tanβ

+a=

2mv0

qB

+a  
橫坐標為xN=2

3

a                        
故N點的坐標為（2

3

a，

2πv0

qB

+a）
（3）當矩形磁場為圖示虛線矩形時的面積最�。畡t矩形的兩個邊長分別為
L1=2R=

4 3 mv0

3qB

                     
L2=R+Rsinβ=

3 mv0

qB

               
所以矩形磁場的最小面積為：Smin=L1×L2=

4m2 v 20

q2B2

   
矩形磁場最小面積為Smin=

4m2 v 20

q2B2