Question

1．如圖所示，兩條平行的金屬導軌相距L=1m，水平部分處在豎直向下的勻強磁場B₁中，傾斜部分與水平方向的夾角為37°，處于垂直于斜面的勻強磁場B₂中，B₁=B₂=0.5T．金屬棒MN和PQ的質量均為m=0.2kg，電阻R_MN=0.5Ω和R_PQ=1.5Ω，MN置于水平導軌上，PQ放在傾斜導軌上，剛好不下滑．兩根金屬棒均與導軌垂直且接觸良好．從t=0時刻起，MN棒在水平外力F的作用下由靜止開始向右運動，MN棒的速度v與位移x滿足關系v=0.4x．不計導軌的電阻，MN始終在水平導軌上運動，MN與水平導軌間的動摩擦因數μ=0.5．
（1）問當MN棒運動的位移為多少時PQ剛要滑動．
（2）求從t=0到PQ剛要滑動的過程中通過PQ棒的電荷量．
（3）求MN從開始到位移x₁=5m的過程中外力F做的功．

Answer 1

分析 首先此題隱含了開始時PQ剛好不下滑，則有PQ重力的下滑分量與最大靜摩擦力相等，這到下面計算中出用到．其次由于MN的速度隨位移均勻增大，所以一段位移的平均速度等于位移中點的平均速度，這在求焦耳熱中要用到．
（1）MN的運動產生感應電流，從而使PQ受到向上的安培力，當其剛要上滑時，靜摩擦力達到最大，由平衡條件可列方程，F_安=mgsin37°+μ′mgcos37°，而安培力BIL，I中有速度的式子，而v=0.4x，代入平衡方程就能求出MN的位移．
（2）求電荷量，當然用平均電流與時間的積，最后得到電量為$\frac{△∅}{{R}_{總}}$，很容易求出此過程的電量．
（3）由功能關系知：外力做的功等于增加的動能、摩擦產生的熱、焦耳熱之和，前兩個很好計算，而焦耳熱也可用平均值方法求．先求出電流的平均值，再由焦耳定律求得．

解答 解：（1）由題意，PQ置于傾斜軌道上剛好不滑，則有：
          mgsin37°=μ′mgcos37°     ①
  于是得到PQ與導軌的動摩擦因數：μ′=tan37°=0.75 
  當MN由靜止開始向右加速時，MN切割磁感線產生感應電動勢，PQ受到沿斜面向上的安培力F_安，當PQ剛要向上滑動時，則有：
  F_安=mgsin37°+μ′mgcos37°     ②
  而F_安=$BIL=B\frac{BLv}{{R}_{MN}+{R}_{PQ}}L$     ③
  而v=0.4x          ④
聯立以上幾式得：x=48m
（2）以上過程通過回路的電荷量：
    $q=\overline{I}△t=\frac{\frac{△∅}{△t}}{{R}_{MN}+{R}_{PQ}}△t=\frac{BLx}{{R}_{MN}+{R}_{PQ}}$=$\frac{0.5×1×48}{0.5+1.5}C$=12C
（3）MN從開始到位移x₁=5m的過程中，由于速度隨位移均勻增大，則感應電流也隨位移均勻增大，所以此過程的平均電流：
    $\overline{I}=\frac{{{I}_{0}+I}_{1}}{2}=\frac{\frac{BL{v}_{1}}{{R}_{MN}+{R}_{PQ}}}{2}$=$\frac{0.5×1×0.4×5}{2（0.5+1.5）}A$=0.25A．
兩棒上產生的焦耳熱：
Q=${\overline{I}}^{2}（{R}_{MN}+{R}_{PQ}）t$=$0.2{5}^{2}×（0.5+1.5）×\frac{5}{\frac{0.4×5}{2}}J$=0.625J．
由功能關系得到：${W}_{F}=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}+μmg{x}_{1}+Q$=6.025J
答：（1）當MN棒運動的位移為48m時PQ剛要滑動．
（2）從t=0到PQ剛要滑動的過程中通過PQ棒的電荷量為12C．
（3）MN從開始到位移x₁=5m的過程中外力F做的功為6.025J．

點評 本題的難點在于第三問，由功能關系知：外力所做的功應等于增加的能量，即動能+摩擦生熱+焦耳熱．焦耳熱的計算解答中用的方法是焦耳定律，先求電流平均值，再代入焦耳定律．但也可以用克服安培力做的功來求，即$Q=\overline{{F}_{安}}•x=B\overline{I}L•x=B\frac{BL\overline{v}}{{R}_{MN}+{R}_{PQ}}L•x$=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}\frac{{v}_{1}}{2}}{{R}_{MN}+{R}_{PQ}}•x$=0.625J，兩種結果相同．