Question

19．如圖所示，一個可視為質點的物塊，質量為m=2kg，從光滑四分之一圓弧軌道頂端由靜止滑下，到達底端時恰好進入與圓弧軌道底端相切的水平傳送帶，傳送帶由一電動機驅動著勻速向左轉動，速度大小為v=3m/s．已知圓弧軌道半徑R=0.8m，物塊與傳送帶間的動摩擦因數為μ=0.1，兩皮帶輪之間的距離為L=10m，重力加速度g=10m/s²；求：
（1）物塊滑到圓弧軌道底端時對軌道的作用力；
（2）若物體滑到傳送帶上后將圓弧軌道移開，則物體從傳送帶的哪一端離開傳送帶？在傳送帶上摩擦力對物塊所做的功為多大？

Answer 1

分析 （1）物塊滑到圓弧軌道底端的過程中，由動能定理求出物塊滑到軌道底端時的速度，由牛頓第二定律求解物塊滑到圓弧軌道底端時對軌道的作用力．
（2）分析物塊傳動帶帶后的運動過程：物塊滑上傳送帶后做勻減速直線運動，由牛頓第二定律和運動學公式結合求出物塊勻減速到速度為零時運動的最大距離，與L的大小進行比較，判斷物塊將從傳送帶的哪一端離開傳送帶，再由動能定理求出物塊在傳送帶上摩擦力所做的功．

解答 解：（1）物塊滑到圓弧軌道底端的過程中，由動能定理得
$mgR=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$      
解得${v}_{0}^{\;}=\sqrt{2gR}=\sqrt{2×10×0.8}=4$ m/s      
在圓弧軌道底端，由牛頓第二定律得     $F-mg=m\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
解得物塊所受支持力  F=60N                             
由牛頓第三定律，物塊對軌道的作用力大小為60N，方向豎直向下
（3）物塊滑上傳送帶后做勻減速直線運動，設加速度大小為a，由牛頓第二定律得
 μmg=ma    
 解得  a=1m/s²
物塊勻減速到速度為零時運動的最大距離為 ${s}_{0}^{\;}=\frac{{v}_{0}^{2}}{2a}=\frac{{4}_{\;}^{2}}{2×1}=8$m＜L=10m
可見，物塊將從傳送帶的左端離開傳送帶速度為v=3 m/s．  
向右減速摩擦力對物塊做功 ${W}_{1}^{\;}=0-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}=0-\frac{1}{2}×2×{4}_{\;}^{2}=-16J$
反向勻加速摩擦力對物塊做功：${W}_{2}^{\;}=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}-0=\frac{1}{2}×2×{3}_{\;}^{2}-0=9J$    
在傳送帶上摩擦力對物塊所做的功為W=-16+9=-7J            
答：（1）物塊滑到圓弧軌道底端時對軌道的作用力60N；
（2）若物體滑到傳送帶上后將圓弧軌道移開，則物體從傳送帶的左端離開傳送帶，在傳送帶上摩擦力對物塊所做的功為-7J

點評 弄清楚物體的運動過程和受力情況是解題關鍵．：①物塊沿光滑圓弧下滑的過程，機械能守恒；②物塊在傳送帶上做勻減速直線運動．