Question

5．如圖所示，在豎直平面內除了圓形區域外空間存在著范圍足夠大的垂直紙面向外的勻強磁場，磁感應強度大小為B，O點是圓形區域的圓心，A點是圓形區域上一點，在圓形區域內水平直徑CD以下有垂直紙面向外的勻強磁場（圖中未畫出），磁感應強度大小為B′=$\sqrt{3}$B，OA與水平直徑CD夾角為60°，圓形區域的半徑為a，一個質量為m，電荷量為q的帶正電的粒子從磁場中的某點P以水平方向速度垂直進入磁場，恰好沿AO方向進入圓形磁場區域，已知P點與圓心O的水平距離為2a，不計粒子的重力，求
（1）粒子從P點射入時的速度大��？
（2）粒子在圓形區域磁場中的運動的時間是多少？
（3）若撤去圓形磁場區域內的磁場，圓形區域外部磁場不變，則粒子從第一次經過A點到第二次經過A點運動的路程和時間分別是多少？

Answer 1

分析 （1）由初末速度的方向確定在圓外磁場做勻速圓周運動的圓心，從而由幾何關系求出軌道半徑與圓形區域半徑的關系，再由半徑公式求出從P點射入的速度．
（2）沿AO方向從O點射入圓內磁場，先由牛頓第二定律求出在圓內磁場做勻速圓周運動的半徑，結合圓心與AO垂直，從而確定圓心的位置，從而求出在圓內磁場今世偏轉的角度，從而求出了在圓內磁場中的時間．
（3）若撤去圓形區域內的磁場，則從Q點入射進入圓形區域在圓形區域沿直徑做勻速直線運動，離開圓形區域進入圓外磁場再做勻速圓周運動，半徑大小與出射方向找到第一次離開圓形區域的半徑，畫出軌跡，再由幾何關系找到轉過的角度．確定再次入射圓形區域的位置，余次類推，可以畫出第二次經過A點時的總的軌跡，從而能求出總的路程和時間．

解答 解：（1）設粒子在磁場B中運動的軌道半徑為R₁，由幾何關系可知
     R₁sin60°+acos60°=2a
    解得${R}_{1}=\sqrt{3}a$
    由洛倫茲力提供向心力得$qvB=\frac{m{v}^{2}}{{R}_{1}}$
    解得$v=\frac{\sqrt{3}qBa}{m}$

（2）設粒子在圓形區域內磁場中運動的軌道半徑為R₂，
    由洛倫茲力提供向心力得：$qvB′=\frac{m{v}^{2}}{{R}_{2}}$
    解得R₂=a，
    因為R₂=a，粒子在圓形磁場區域運動的軌跡圓心一定位于圓形區域的圓周上，且所對應的圓心角
   為60⁰，粒子在圓形區域的磁場中運動的時間為${t}_{1}=\frac{T}{6}=\frac{2πa}{6v}=\frac{\sqrt{3}πm}{9qB}$．

（3）粒子第一次經過A點后經過如圖所示的軌跡再次經過A點，由圖可
   知$tanα=\frac{a}{{R}_{1}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，α=30°
   粒子在磁場中做圓周運動的圓心角為300⁰，粒子再次經過A點在磁場中運動
   路程${s}_{1}=3×\frac{300}{360}×2π{R}_{1}=5\sqrt{3}πa$
   在圓形區域運動的總路程是$5（\sqrt{3}π+8）a$
   運動時間：t₂=$\frac{s}{v}$$（5π+\frac{8}{\sqrt{3}}）\frac{m}{qB}$
答：（1）粒子從P點射入時的速度大小$\frac{\sqrt{3}qBa}{m}$．
（2）粒子在圓形區域磁場中的運動的時間是$\frac{\sqrt{3}πm}{9qB}$．
（3）若撤去圓形磁場區域內的磁場，圓形區域外部磁場不變，則粒子從第一次經過A點到第二次經過A點運動的路程$（5\sqrt{3}π+8）a$，時間為$（5π+\frac{8}{\sqrt{3}}）\frac{m}{qB}$．

點評 本題的靚點在于第三問，撤去圓形內部的磁場，在圓內做直線運動而在圓外做圓弧運動，由半徑大小和洛侖茲力與速度方向垂直確定在圓外做勻速圓周運動的圓心，由幾何關系找到轉過的角度，畫出再次經過A點的軌跡，從而求出總的路程和時間．