Question

1．如圖（a）為一研究電磁感應的實驗裝置示意圖，其中電流傳感器（電阻不計）能將各時刻的電流數據實時通過數據采集器傳輸給計算機，經計算機處理后在屏幕上同步顯示出I-t圖象．平行且足夠長的光滑金屬軌道的電阻忽略不計，左側傾斜導軌平面與水平方向夾角θ=30°，與右側水平導軌平滑連接，軌道上端連接一阻值R=0.5Ω的定值電阻，金屬桿MN的電阻r=0.5Ω，質量m=0.2kg，桿長L=1m跨接在兩導軌上．左側傾斜導軌區域加一垂直軌道平面向下的勻強磁場，右側水平導軌區域也加一垂直軌道平面向下的勻強磁場，磁感應強度大小都為B=1.0T，閉合開關S，讓金屬桿MN從圖示位置由靜止開始釋放，其始終與軌道垂直且接觸良好，此后計算機屏幕上顯示出金屬桿在傾斜導軌上滑行過程中的I-t圖象，如圖（b）所示． （ g取10m/s2）
（1）求金屬桿MN在傾斜導軌上滑行的最大速率；
（2）根據計算機顯示出的I-t圖象可知，當t=2s時，I=0.8A，0-2s內通過電阻R的電荷量為1.0C，求0-2s內在電阻R上產生的焦耳熱；
（3）金屬桿MN在水平導軌上滑行的最大距離．

Answer 1

分析 （1）金屬桿達到最大速度時做勻速直線運動，應用平衡條件可以求出最大速度．
（2）求出感應電動勢，然后由歐姆定律求出電流，再求出電荷量，然后應用能量守恒定律與串聯電路特點求出電阻產生的焦耳熱．
（3）依據牛頓第二定律列出方程，兩邊求和，再結合電量的綜合表達式，即可求解．

解答 解：（1）由I-t圖象可知，當金屬桿達到最大速率時已經勻速下滑，
由平衡條件得：mgsinθ=BIL，
感應電動勢：E=BLv_m=I（R+r），
代入數據解得：v_m=1m/s；
（2）2s末的電流I=0.8A時，依據閉合電路歐姆定律，有：I=$\frac{E}{R+r}$=$\frac{BLv}{R+r}$
則有：v=$\frac{I（R+r）}{BL}$，
代入數據解得：v=0.8m/s
而0～2s內通過電阻R的電荷量為q=1C，
依據q=$\frac{E}{R+r}△t$=$\frac{△∅}{△t}•\frac{△t}{R+r}$=$\frac{△∅}{r+R}$=$\frac{BLx}{R+r}$，
則有：x=$\frac{q（R+r）}{BL}$，
代入數據解得：x=1m；
根據能量守恒定律，則有：mgxsinθ=$\frac{1}{2}$mv²+Q
則有：Q=mgxsinθ-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
代入數據解得：Q=0.936J
那么Q_R=$\frac{R}{R+r}Q$，
代入數據解得：Q_R=0.468J
（3）根據牛頓第二定律，則有：BIL=m$\frac{△v}{△t}$
那么BL（I△t）=m△v，
兩邊求和，即BL∑（I△t）=m∑△v，
解得：BLq=mv_m-0
因此q=$\frac{m{v}_{m}}{BL}$，
代入數據解得：q=0.2C
又因q=$\frac{E}{R+r}△t$=$\frac{△∅}{△t}•\frac{△t}{R+r}$=$\frac{△∅}{r+R}$=$\frac{BLx}{R+r}$，
解得：x_m=$\frac{q（R+r）}{BL}$=0.2m
答：（1）金屬桿MN在傾斜導軌上滑行的最大速率1m/s；
（2）0-2s內在電阻R上產生的焦耳熱0.468J；
（3）金屬桿MN在水平導軌上滑行的最大距離0.2m．

點評 本題是一道電磁感應與電路、力學相結合的綜合題，分析清楚金屬桿的運動，應用平衡條件、法拉第電磁感應定律、歐姆定律、能量守恒定律等可以解題，注意掌握微分求和的方法．