Question

為了盡量減少發射衛星時火箭所提供的能量，可以利用地球的自轉，讓衛星由西向東發射，現假設某火箭的發射場地就在赤道表面附近；
（1）如果使衛星在地球赤道面的附近做勻速圓周運動，則衛星相對于地心運行的速度大小是多少？衛星相對于地球表面運行的速度大小又是多少？
（2）如果某衛星的質量是2×10³kg，由于地球的自轉使得衛星具有了一定的初動能，這一初動能即為利用地球的自轉與地球沒有自轉相比較，火箭發射衛星時所節省的能量，求此能量的大小．
（已知萬有引力恒量G=6.67×10^-11nm²/kg²，地球的半徑為R=66.4×10³km，地球自轉周期為24h，表面重力加速度為9.8m/s²，要求答案保留兩位有效數字）

Answer 1

分析：1、由于地球自轉，使衛星具有的初速度v′=

2πR

T

，在地面上附近重力提供向心力mg=m

v2

R

，解出此時速度v，該速度即為衛星對地心的速度，兩速度之差為衛星相對于地面的速度．
2、根據能量守恒，節省的能量為由于地球自轉而具有的動能，即Ek0=

1

2

mv′2，代入數據計算即可．

解答：解：（1）在發射之初，由于地球的自轉，使得衛星具有一初速度，其大小為
v′=

2πR

T

=

2×3.14

24×60×60

×6.4×106m/s=0.47km/s
衛星在地球附近繞地球作圓周運動時重力提供向心力，設衛星作圓周運動的速度（即衛星對地心的速度）為v，由牛頓第二定律得mg=m

v2

R

即v=

Rg

=7.9km/s
∴對于地面的速度應達到v₀=v-v′=7.4km/s
（2）節省的能量Ek0=

1

2

mv′2=

1

2

×2×103×0.472×106=2.2×10⁸J
答：（1）衛星相對于地心運行的速度大小是7.9km/s，衛星相對于地球表面運行的速度大小是7.4km/s．
（2）火箭發射衛星時所節省的能量為2.2×10⁸J．

點評：本題難點是要理解衛星對于地心的速度和衛星對于地面的速度，這兩個速度分別是什么含義，這是解題的關鍵．