Question

13．如圖所示，有A、B兩顆衛星繞地心O做圓周運動，旋轉方向相同．A衛星的周期為T₁，B衛星的周期為T₂，在某一時刻兩衛星相距最近，則（引力常量為G）（　　）

• A． 兩衛星經過時間t=T₁+T₂再次相距最近
• B． 兩顆衛星的軌道半徑之比${{T}_{1}}^{\frac{2}{3}}$：${{T}_{2}}^{\frac{2}{3}}$
• C． 若己知兩顆衛星相距最近時的距離，可求出地球的密度
• D． 若己知兩顆衛星相距最近時的距離，可求出地球表面的重力加速度

Answer 1

分析 兩行星相距最近時，兩行星應該在同一半徑方向上，兩行星相距最遠時，兩行星應該在同一直徑上，由于A的周期小，故A轉得較快，當A比B多轉一圈時兩行星再次相距最近．

解答 解：A、兩行星相距最近時，兩行星應該在同一半徑方向上，
A多轉動一圈時，第二次追上，轉動的角度相差2π，即：2$\frac{π}{{T}_{1}}$t-2$\frac{π}{{T}_{2}}$t=2π，
解得：t=$\frac{{T}_{1}{T}_{2}}{{T}_{2}-{T}_{1}}$．故A錯誤；
B、根據萬有引力提供向心力得：
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$r
A衛星的周期為T₁，B衛星的周期為T₂，所以${{T}_{1}}^{\frac{2}{3}}$：${{T}_{2}}^{\frac{2}{3}}$，故B正確；
C、若己知兩顆衛星相距最近時的距離，結合兩顆衛星的軌道半徑之比可以求得兩顆衛星的軌道半徑，根據萬有引力提供向心力得：
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$r，所以可求出地球的質量，但不知道地球的半徑，所以不能求出地球的密度，故C錯誤；
D、不知道地球的半徑，所以不可求出地球表面的重力加速度，故D錯誤；
故選：B

點評 根據幾何關系得到兩顆衛星相距最近和相距最遠所滿足的角度關系，最近時兩衛星在同一半徑上角度差為2π弧度，衛星相距最遠時，兩衛星在同一直徑上，轉過的角度差為π弧度．