Question

18．質量m=1kg的小滑塊（可視為點）放在質量M=3kg的長木板中央，木板放在光滑水平面上，木板與滑塊之間摩擦系數μ=0.1，木板長L=1m．開始二者均靜止，現用水平恒力F沿水平向右拉木板，如圖所示，滑塊與木板間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，取g=10m/s²，試求：
（1）為使滑塊和木板以相同的速度一起滑動，力F應滿足什么條件？
（2）用水平恒力F沿水平向右拉木板，要木板在0.5s時間從滑塊下抽出，力F應多大？
（3）如用F=10N的水平力向右拉木板，將木板從滑塊下拉出，求F的最短作用時間是多少？（結果用小數或根式表達均可）

Answer 1

分析 （1）先對整體運用牛頓第二定律求解加速度，在對滑塊M根據牛頓第二定律列式，當m與M間的靜摩擦力達到最大時，拉力達到最大值；
（2）對滑塊和滑板分別運用牛頓第二定律表示出加速度，然后根據木板位移比滑塊位移多$\frac{L}{2}$列式求解．
（3）F作用的過程中滑塊和木板均做勻加速運動，撤去后滑塊做勻加速運動，木板做勻減速運動，當m與M速度相等時，滑塊剛能從木板上掉下來，根據牛頓第二定律和運動學公式求出F的最短作用時間；

解答 解：（1）設滑塊與平板間的靜摩擦力達到最大時拉力為F_m，根據牛頓第二定律，有：
對整體：F_m=（M+m）a
對木板：F_m-μmg=Ma
聯立解得：F_m=4N；
故拉力F≤4N；
（2）木板加速度為：a₁=$\frac{F-μmg}{M}$=$\frac{F-1}{3}$；
滑塊加速度為：a₂=$\frac{μmg}{m}$=$μg=1m/{s}_{\;}^{2}$；
木板位移為：${x}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}{a}_{1}^{\;}{t}_{\;}^{2}$；
滑塊位移為：x₂=$\frac{1}{2}{a}_{2}^{\;}{t}_{\;}^{2}$；
其中木板位移比滑塊位移多$\frac{L}{2}$，即：${x}_{1}^{\;}-{x}_{2}^{\;}=\frac{L}{2}$；
聯立以上各式解得：F=16N，x₁=0.625m，x₂=0.125m；
（3）設力F作用于M上的時間為t₁，
對M：做初速度為零的平加速直線運動，加速度為：${a}_{1}^{\;}=\frac{F-μmg}{M}=\frac{10-1}{3}=3m/{s}_{\;}^{2}$，
對m：做初速度為零的勻加速直線運動，加速度為：${a}_{2}^{\;}=μg=1m/{s}_{\;}^{2}$，
當撤出力F運動時間為t₂，
m受力不變，仍做勻加速直線運動，加速度還等于：${a}_{2}^{\;}=μg=1m/{s}_{\;}^{2}$，
對M：做勻減速直線運動，加速度為為：${a}_{3}^{\;}=\frac{μmg}{M}=\frac{1}{3}m/{s}_{\;}^{2}$
當m與M速度相等時，滑塊剛能從木板上掉下來，得：a₂（t₁+t₂）=a₁t₁-${a}_{3}^{\;}{t}_{2}^{\;}$
$1×（{t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}）=3{t}_{1}^{\;}-\frac{1}{3}{t}_{2}^{\;}$
根據m與M的位移關系可得：
$\frac{1}{2}{a}_{2}^{\;}（{t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}）_{\;}^{2}+\frac{L}{2}=\frac{1}{2}{a}_{1}^{\;}{t}_{1}^{2}$$+（{a}_{1}^{\;}{t}_{1}^{\;}）{t}_{2}^{\;}-\frac{1}{2}{a}_{3}^{\;}{t}_{2}^{2}$
代入數據：$\frac{1}{2}×1×（{t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}）_{\;}^{2}+\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}×3{t}_{1}^{2}$+$3{t}_{1}^{\;}{t}_{2}^{\;}-\frac{1}{2}×\frac{1}{3}{t}_{2}^{2}$
聯立代入數據解得：t₁=$\frac{2\sqrt{5}}{5}s$．
答：（1）為使滑塊和木板以相同的速度一起滑動，力F應滿足不大于2N的條件；
（2）用水平恒力F沿板方向向右拉滑塊，要使滑塊在0.5s時間從木板右端滑出，力F應16N大；
（3）F的最短作用時間是$\frac{2\sqrt{5}}{5}$s．

點評 本題關鍵分別對滑塊和滑板受力分析，求解出各自的加速度，然后根據運動學公式列式求解，不難．