Question

18．一個半徑為R的豎直固定的光滑圓環上套有一個質量為m的小球，一根輕彈簧上端固定在圓環的圓心處，下端固定在小球上．在圓環的最低處給小球水平向右的大小為$\sqrt{6Rg}$的初速度，此時圓環恰好對小球沒有彈力，已知重力加速度為g．下列說法正確的是（　　）

• A． 小球在圓環最低點時，彈簧的彈力大小為mg
• B． 小球經過圓環的最高點的速度大小為$\sqrt{gR}$
• C． 小球在圓環的最高點時彈簧的彈力比小球在最低點時的小
• D． 小球在圓環最高點時圓環對小球的彈力大小為mg

Answer 1

分析 小球在圓環最低點時，由彈簧的彈力和重力的合力提供向心力，由牛頓第二定律求彈簧的彈力．由于彈簧對圓環不做功，所以圓環的機械能守恒，由此求解小球經過圓環的最高點的速度，由向心力公式求解小球在圓環最高點時圓環對小球的彈力．

解答 解：A、小球在圓環最低點時，由牛頓第二定律有 F-mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$，又 v₀=$\sqrt{6Rg}$，解得彈簧的彈力大小為 F=7mg，故A錯誤．
B、設小球經過圓環的最高點的速度大小為v，根據機械能守恒定律得 2mgR+$\frac{1}{2}m{v}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$，解得 v=$\sqrt{2gR}$，故B錯誤．
C、小球在圓環的最高點時與小球在最低點時彈簧的形變量相同，所以彈力大小相等，故C錯誤．
D、設小球在圓環最高點時圓環對小球的彈力大小為F′，方向向下，根據牛頓第二定律得 mg+F′=m$\frac{{v}^{2}}{R}$．解得 F′=mg，故D正確．
故選：D

點評 本題考查了牛頓第二定律和機械能守恒定律的綜合運用，知道最高點和最低點向心力的來源，結合牛頓第二定律進行求解．