Question

如圖所示，位于同一水平面內(nèi)的兩根平行導軌之間的距離為L，導軌左端連接一個耐壓足夠大的電容器，電容器的電容為C，放在導軌上質(zhì)量為m的導體桿MN與導軌接觸良好，MN桿在平行于導軌的水平恒力F作用下從靜止開始加速運動，整個裝置處于磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場中，磁場方向垂直于導軌平面。導軌足夠長，不計一切電阻和摩擦，求從導體桿開始運動經(jīng)過時間t電容器吸收的電能E?

Answer 1

解析：據(jù)題意，導體桿MN加速切割磁感線，產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢且不斷增大，電容器兩極板間電壓隨著增大，儲存的電能增加，同時由于電容器處于連續(xù)充電狀態(tài)中，電路中有持續(xù)的充電電流，故導體桿受到向左的安培力。因電容器在時間t內(nèi)吸收的電能可以用克服安培力做的功來量度，所以弄清楚充電電流及安培力的變化規(guī)律，就成為解答本題的關(guān)鍵。

    設(shè)某時刻導體桿切割磁感線的速度為v，產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為E，電容器所帶的電荷量為q，兩極板間的電壓為u，則有：u=E=BLv,q=Cu=CBLv。設(shè)經(jīng)過一個很短的時間間隔Δt，速度的變化量為Δv，則電容器帶電量的變化量為：Δq=CBLΔv。

在時間Δt內(nèi)充電電流的平均值可表示為：

i==CBLa

式中a表示Δt內(nèi)導體桿運動的平均加速度。若把Δt取得足夠小，那么i和a就分別趨近于該時刻的充電電流的瞬時值及加速度的瞬時值。于是，桿MN所受安培力的瞬時值可表示為：F_安=BiL=CB²L²a。

上式表明：安培力的瞬時值與加速度成正比。

將安培力瞬時值表達式代入牛頓第二定律，F(xiàn)-CB²L²a=ma。由此解得a=。

由上式不難看出：加速度a是恒定的，桿MN做勻加速直線運動，進而推知：充電電流是恒定電流，安培力是恒力。

因時間t內(nèi)，桿MN的位移為：

s=at²=

故桿MN克服安培力做的功可表示為：

W=F_安·s=,電容器在時間t內(nèi)吸收的電能E=W，可用上式表示。